Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Случай А: для X выполнено Xф0 (mod я).
определим
Щ (*) = (2ЯГ)-1 Л</> (Ji) WW~> (6-3.8)
ITx <*-) = (2яГ)-* d</> (Л,) Н^Ж (6-3.9)
m
іЙ(Я)=(2«+і)-» ? 1(Л(2л["(гГ)+5М* (6•3•1O)
S=-m '
т
®W = (2m+l)-1 2 ISR(8^y+'1) (6-3.11)
S=-т ^ '
и предположим, что гхг-матрица fxxity несингулярна. Теперь мы имеем для A(Ji) оценку
Am(X) = f» (X)IiR (6.3.12)
а для /ее (X) —
(*•) = W# (X) -f» (X) fft (X)-1 f ft (X)}. (6.3.13)
В теореме 6.2.4 предлагалось в качестве аппроксимирующего распределения для А(Г) (Х)т использовать N? (А (Х)т), (2m+I)"1 X Xfee(X)fft(X))-S а для я?>(X)-распределение [2(2m+ 1—o]-1X
X /ее (X) %|<2т+1-г) •
В следующих параграфах оценки (6.3.12) и (6.3.13) будут обобщены и мы уточним предложенные аппроксимирующие распределения.
Для оценки \к возьмем
^T) = С(уг, д(п (0) С(Р, (6.3.14)
где сф} и являются выборочными средними для данных значений FhX. Ниже в формулировках отдельных теорем будет удобнее пользоваться статистикой \л{Т) + А(Г) (0) с(р = с(р.
Рассмотренный эвристический подход был предложен в работах: Akaike (1964, 1965), Duncan, Jones (1966), Brillinger (1969а).
Случай В: для X выполнено Х = 0(тос12я) или X= ± я, ± Зя,... и T четно.
Случай С: для Я выполнено X= ± я, ±3я,... и T нечетно.
Предположим, что S(T)-TaKOe целое число, что 2ns(T)IT близко к X. (Позднее мы будем требовать, чтобы 2ns(T)IT —+X при Т —^оо.) Пусть /п —целое неотрицательное число. Пусть также Vyx (ц задается выражением (6.3.8). Определим
т
f&(Ь) = (2m+1)-* ? l&(2"[S(j?+Sl) в случае А, (6.4.1)
S= -т
ІЙ (X) = (2т)"1 { 2 +? j 1? (Я +щ) в случае В (6.4.2)
и
т
№(Jt) = (2т)-» ? {і<& (Л-Т + Т1)
+ 1?(Я. +T-^r)} в случае С (6.4.3)
по аналогии с определениями /угу(^) и VPx(X). Эти оценки основываются на дискретном преобразовании Фурье и поэтому могут быть вычислены с помощью алгоритма быстрого преобразования Фурье.
В качестве оценок A(X), fee(X), |л возьмем
, А{Т)(Ь) = №(ЦГРх(Ь)-\ (6.4.4)
«24^) = C(In, г) [WHV ~ VJb(X) Vpx (Х)~Ч& (X)], (6.4.5)
где С(т, г) —константа, причем
/ 2mm+v-r В СЛУЧае А' [ 2m__r в случаях В и С,
и, таким образом,
^T) = с(г, _ А(г) (0) (6.4.7)
дает выражение для оценки р,. Приведем теорему, показывающую поведение математического ожидания А(Г)(Х) в данном случае.
Теорема 6.4.1. Пусть e(t), / = 0, ±1, удовлетворяет условию 2.6.1 и имеет среднее 0. Пусть значения X(t), t = 0, ±1, ...", ограничены в совокупности, Y (t) имеет вид (6.1 Л), причем выполнено условие 21 и 11 а (и) | < оо. Пусть в задающем А(Г>(Х) выражении (6.4.4) VJb(X) имеет вид (6.4.1). Тогда вслу-
чае А имеем
ЕА(Г) ? А (*Уі^±І) ,? (2"HT)+s] )J
X I 2 IJR(^I-ElIi)J"1+ R«n (6.4.8)
аЗе Зля конечных К выполняется
I R<r> I < KT-^ I ISTJc (X)-11|1/2 •- (6.4.9)'
Такой же характер носят выражения в случаях В и С.
Заметим, что в выражении (6.4.8) для ЕА(Г) (X) основной вклад дает матрица взвешенного среднего передаточной функции А (а). Кроме того, из этого выражения следует, что различие со взвешенным средним тем меньше, чем больше IZi (X). Из теоремы 6.4.1 можно вывести
Следствие 6.4.1. Если в условиях теоремыбЛЛ норма 1IfZi(X)"1! ограничена при T —>оо, то оценка А(Л (X) является асимптотически несмещенной.
Вернемся к исследованию асимптотических распределений.
Теорема 6.4.2. Предположим, что выполнены условия теоремы 6.4.1. Предположим также, что IZi(X) несингулярна для достаточно больших T и 2ns (T)/Т —* X при T —* оо. Тогда А{Т) (X) имеет асимптотическое распределение (А (Х)т, (2т + I)-1X X/ее (X)I^i (X)"1) 6 случае А и асимптотическое распределение Nr(A(i)x, (2m)-1 Ze8(X)IZi(X)-*1) в случаях BuC Кроме того, распределение g(ee} (X) стремится к /е8 (X) x!<2m+i-o/[2 (2m+ 1 — г)] в случае А и к распределению /ее(Х)xlm-r/(2m—-г) в случаях В и, С. Предельные нормальное и у?-распределения независимы. Наконец, \i{T) + А(7) (0) cZ) имеет асимптотическое распределение N1;([х + A(O) cZ\ 2«T-V88(O)), ж зависящее от А(Г)(Х), ^(X)1
- OO < X < OO.
В случае ХфО (mod п) из теоремы 6.4.2 следуют приближенные формулы
Dg& (X) і {Df2 (2m+W)/[2 (2m + 1 - г)]} /ее (X)2
=== (2m+1-г)-1/ее (X)2. (6.4.10)
В случае X = О (mod я), как это следует из теоремы, дисперсия приближенно равна 2/ее(X)V(2m — г).
Для поиска предельных распределений амплитуды и фазы можно использовать
Следствие 6.4.2. В условиях теоремы 6.4.2 значения функций от А(Г) (X), geV (X), \л(Т) + А{Т) (0) с(П стремятся по распределению к значениям тех же функций от пределов переменных, указанных в теореме.
Мы будем пользоваться теоремой 6.4.2 и ее следствием в §6.9 при построении доверительных областей для некоторых параметров. Нередко представляет особый интерес статистика
Y(t), * = 0, ± 1, и X(o, * = 0, ±1, ... . Ее распределение при больших выборках дает
Теорема 6.4.3. Предположим, что выполнены условия теоремы 6.4.1 и пусть статистика \RYx(k)\2 задается выражением (6.4.11). Тогда в случае А при Т—> оо
I RJk (?) I2 = [Fг/(2m + 1 - г)]/[ 1 + Fr/(2т + 1 - г)] + оПл „. (1),
