Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
6.2. JMetnod наименьших квадратов и регрессионная теория 207
Во многих ситуациях для компонент вектора а из выражения (6.2.7) желательно знать доверительные области. Как мы видели, в случае действительных величин доверительные интервалы могут быть построены, если учесть, что в условиях теоремы 6.2.2 величина (6.2.6) имеет /-распределение. В данном случае возникают осложнения, связанные с тем, что компоненты суть комплексные величины.
Пусть aj и а; обозначают /-е компоненты а и а соответственно. Пусть также сИ обозначает /-й диагональный элемент матрицы (XX1)-*, a wf обозначает
C//Y (I--хт (XXV1X)^
Величина
WJ1I1GLf-Cl;) (6.2.14)
имеет вид V1^2Zy где z имеет распределение Ni(Oy 1), а у не зависит от г и имеет %\ (/г_Л)/{2(д—/^-распределение. Тогда
wf\a.j—aj\2l2 (6.2.15)
имеет F2; 2 (л-Ао-распределение. Доверительная 100|3-процентная область для Re а;-, Im ау может быть определена из неравенства
{Reay —Reay}2 + {Imay — Ітау}2<2ш/2; 2 ф) (6.2.16)
где F ф) обозначает более чем 100р-процентную точку F-pacrtpe-деления. Заметим, что эта область имеет форму круга с центром в Reay, Im Uj.
В некоторых ситуациях предпочтительнее иметь доверительные интервалы для \af \ и argay. Варианты интервалов можно получить алгебраическим способом из выражения (6.2.16). Пусть
Vj = V2wjFt.t{n-k)(fi) , (6.2.17)
тогда область (6.2.16) приближенно может быть представлена следующим образом:
|5/|-07<|e/l<|2/|+0/f argа. — arcsin {оу/|а}- \) <argау <argа;- + arcsin {vf/\af |). (6.2.18)
Это представление для области приводится в работах: Goodman (1957). Akaike, Yamanou?hi (1962).
Границы области (6.2.18) имеют только приближенный характер. Точные 100у-процентные интервалы для |а7<| могут быть
определены, если заметить, что
wfx\aj 12/2 (6.2.19)
имеет нецентральное F-распределение со степенями свободы 2 й 2(я— k) и параметром нецентральности |а/|2/2. Теперь для построения точных доверительных интервалов можно воспользоваться таблицами для мощностей ^-критерия [Pearspn Е. S., Hartley (1951)]. Могут быть использованы также таблицы Fox (1956).
С другой стороны, для построения приближенных 100у-про-центных доверительных интервалов распределение величины (6.2.15) можно определять из центрального ^-распределения со степенями свободы
(2 + |ау.|2/2)2/(2 + |ау|2) (6.2.20)
и 2 (я — k). Такую аппроксимацию нецентрального /^распределения приводят Abramowitz, Stegun (1964); см. также Laubscher (1960).
В случае - 0у = argа. точные границы доверительных 1006-процентных интервалов можно определить, заметив, что
{(Im CLj) COS 0у — (Re CLj) Sin0y} Wy"1/2 (6.2.21)
имеет /2(„_лграспределение. Интересно, что эта процедура тесно связана с проблемой Кризи — Филлера [Fieller (1954) и Halperin (1967)]. Описанные выше две процедуры построения точных доверительных интервалов приводят Groves, Hannan (1968).
Если доверительные интервалы требуются одновременно для нескольких компонент а, то можно определять их, исходя из обобщения многомерного /-распределения на комплексный случай. Многомерное комплексное /-распределение обсуждается в работе Dunnett, Sobel (1954); см. также Gupta (1963а), Kshirsagar (1961), Dickey (1967). Тем не менее приведем определение комплексного /-распределения. Пусть z имеет распределение Nf(O, 1), а не зависящая от z величина s2 имеет Хл/я-распределение. Тогда z/s имеет комплексное /-распределение с п степенями свободы. Если u = Ret, V= Im/, то плотность этой величины задается выражением
2і/2я-*/ф+иа + і?]-1-/|/2, (6.2.22)
гд* — оо < v<oo. Здесь мы сошлемся на Hoyt (1947).
6.3. Эвристическое построение оценок
Займемся построением оценок интересующих нас параметров. Положим
R(t) = І) а (/-а) X(и). (6.3.1)
Модель (6.1.1) теперь принимает вид
Y (t) = [1 + R(t) + в(0. (6.3.2)
Поскольку значения X(o, / = 0, Т — 1, известны, можно вычислить конечное преобразование Фурье
T-I
d?> (X) = 2 X (0 ехр {— Ш}, (6.3.3)
*=о
которое в данном случае представляет собой г-мерную векторную статистику. Определим также
T-I
dp (К) = 2 R (t) ехр {— Ш]. (6.3.4)
t=o
Оценку близости dp (X) и d(p (X) дает
Лемма 6.3.1. Предположим, что |X(/)|<M, t=0, ±1,.../ и Sl и||а(и)| < оо. Тогда
I dp (a)-A (a) dp (а) |< Ш 21 и \ | а(а) | (6.3.5) I dtf> (а) - А (а) dtf > (а) I < (4Af + L) SI а IJ а (и) |, (6.3.6)
и
где — оо<а<оо и \<х — Х\^.LT'1.
Пусть S(T)-TaKOe целое число, что 2ns(T)IT близко к X9 Положим T большим. Из выражения (6.3.6) вытекает, что
dp (2л ls(T) + s]
A(X)d</>(2^^ (6.3.7)
скажем, для s = 0, ±1, ±т. Если s(t) удовлетворяет
условию 2.6.1, то, согласно теореме 4.4.1, величины dp(2nx xts(T) + s]/T), s = 0, ±1, ±т, аппроксимируются пере-
менными с распределением Nf (0, 2nTfEe(X)). Соотношение (6.3.7), как видно, имеет форму соотношения множественной регрессии, содержащего комплексные переменные. Вспоминая теорему 6.2.3,
6.4. Вид асимптотического распределения
В этом параграфе найдем асимптотические распределения класса элементарных оценок параметров A(X) и /еБ(Х), возникших из эвристических соображений § 6.3. Форма и статистические свойства этих оценок будут зависеть от выполнения условия X = 0 (mod п). Выделим три случая:
