Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
5.13. Упражнения_197
5.13. Упражнения
5.13.1. Пусть X (/) — стационарный ряд с нулевым средним, Y (t) г=2«а(*--и)Х(и), ПО = 2« a Докажите, что
Е/</> (Х) = (2яГ)- I [УД^'ММІ'/ДГМ^
-Jt *
Е/<Л (Я) = I Л W |» (2 л Г)-1 j ["l^frff] '/„(«) *u
-Jt
5.13.2. Докажите, что
W ' / = 0 4 ' *=0
•другими словами, при равномерном сглаживании (2я//Г) по всей области мы получаем значение трх (0). (Этот результат можно-рассматривать в качестве проверки точности вычислений.) Получите аналогичный результат для
5.13.3. Пусть задай действительный стационарный в широком смысле процесс X (t), t = 0, ±U ±2, с абсолютно суммируемой автоковариациойной функцией схх (и) и спектром мощности fxx W ф 0, —я < к^л. Покажите, что при этих условиях существует суммируемый фильтр Ъ (и), такой, что ряд ?(0 = 2" b(t — u)X(u) имеет постоянный спектр. Указание: в качестве передаточной функции возьмите [fxx(k)]~1/2 и воспользуйтесь теоремой 3.8.3.
5.13.4. Докажите, что ехр {—-Ipx (X)Ifхх(Щ является в условиях теоремы 5.2.7 при T —у оо асимптотически равномерной случайной величиной, распределенной на (0, 1).
5.13.5. Докажите, что в условиях теоремы 5.2.7 статистики (UT)-1X [Re dP (1K)]2 и (лГ)"1 [Im dp (1K)]2 являются асимптотически независимыми величинами, распределенными как
5.13.6. Пусть Jpx (к) означает меньшую и /(^ (X)—большую из двух величин, рассматриваемых в предыдущем упражнении. В условиях" предыдущего упражнения докажите, что [J(xx(X), Кхх (Щ является приблизительно 42-процентным доверительным интервалом для fxxC^)- См. обсуждение работы Дур-бина в статье Наппап (1967 Ь).
5.13.7. Докажите, что результат теоремы 5.2.6 становится точным, а не асимптотическим, если X(O), ...,X (Г— 1) являются нормальными независимыми величинами с нулевым средним и дисперсией а2.
5.13.8. Пусть W (а)=0 при а < Л, а > В, В > A1 где А и В конечны. Докажите, что асимптотическое выражение для дисперсии, приведенное в (5.6.13), будет минимальным при W (а) = (В — А)-г для Л^а<?.
5.13.9. Докажите, что периодограмма в условиях регулярности является состоятельной оценкой для fxx (к), если /ххМ = 0-
5Л3.10. Пусть заданы ряд Y (t) со спектром /и^Л) и независимый ряд *(0 со спектром fxx(К). Пусть X(t) = Y(t) для 0Ц<7,/Й и X{t)**Z(t)
для Г/2 < t<T—\. Определите приближенные статистические свойства периодограммы 1(хх (X).
5.13.11. Докажите, что
7-і
Ipx (2ns/T) = (2л)-1 ]Г ехр j - і 1 т<Рх (и), где s-целые.
5.13.12. Покажите, что
я
трх (и) = J ехр {iau} Ipx (a) da, -я
5.13.13. Покажите, что
я
-Jt
5.13.14. Докажите, что в условиях теоремы 5.6.2
i^jj V<"(a)«tfej var/^ (Х) = 2я [l + f|{2X}J [/«(X)P-
lim г
5.13.15. (а) Докажите, что
2Jt
где Dr-ї (а) задается формулой (5.9.10). Указание: воспользуйтесь выражением (3.2.5).
(Ь) Докажите, что
2>-t (?-?!) /ft (?-5)
для S^2r—1.
5.13.16. Покажите, что
2я min /хх W < схх (0) < 2я max fxx (X).
5.13.17. Докажите, что если для ряда
'у V)=J^a (t — u)X(u)
и
выполнено условие 2.6.1, то равномерно по X
E\dP (X)-A(X) dP (X) I2 п
= J {[sin T (X-a)/2]2/[sin (b_a)/2]2} | A (K) — Л (a) |2 /ет(се) da -я
Если A (a) имеет ограниченную первую производную, то это выражение равно 0(1) равномерно по X.
5.13. Упражнения
№
5.13.18. Пусть X (t) = R cos (at + Ф) + є(0, ' = 0.....Г — 1, где 8 (t) —
независимые переменные с распределением N (0, а2). Покажите, что оценка максимального правдоподобия а приблизительно совпадает со значением K9 на котором достигается максимум /? (X), см. Walker (1969).
5.13.19. Пусть X (t), / = 0, ± 1, ...,—действительный ряд со средним 0, удовлетворяющий условию 2.6.2(/). Пусть для W (а) выполнено условие 5.6.1. Если ВТТ --> оо при T —> оо, то
Г"'^(х-^);й(^)
г Л т-\
2я L S=O
2Jt -12
-j* ^)(X-a)/(/j^(a)rfa = 0(Bf*T~*).
Покажите это.
5.13.20. Пусть задан действительный ряд X (/)> * = 0, ± 1.....удовлет-
т-1
воряющий условию 2.6.1. Пусть, далее, сР =T~l 2 X (t). Покажите, что
Vt (°{х )—сх) асимптотически не зависит от Vt(C)Ix(U)—схх (и))> которая является асимптотически нормальной величиной с нулевым средним и дисперсией
2Jt 2я 2я
2n^(l + cos2ua)fxx(a)2da+2n^ J ехр {ш (a—P)}/хм*(a, р,—а) Ж* ф. о оо
5.13.21. Покажите, что в условиях теоремы 5.6.3 VT (ср— сх)н VВтТХ X[ZXX(X)-EZxX(X)] асимптотически нормальны и независимы.
5.13.22. Покажите, что математическое ожидание видоизмененной периодограммы (5.3.13) задается выражением
J |#<r>(a)|2da] -я /
X J \mT)(K^oL)-H(T)(K)mT)(^a)/H^)(0)\^fxx(a)da -л
и стремится к fxx(K) для К (mod 2л).
5.13.23. Докажите, что в условиях теоремы 5.2.6 при T —> оо
[sup IPx (Kj (T))IfXx (Xy) < ^ —-(1 — адается формулой (5.( Sl и\\схх(")\ < <»
5.13.24. Пусть fxx (X) задается формулой (5.6.1), причем W (P) ограничена. Допустим, что
Покажите, что
E sup I/«Jx(X)-EZJR (Л) j < '*
Для некоторого конечного К- Установите, что sup^ J (Я,)— Е/(/х (X)| стремится по вероятности к 0, если ВТТ—>eo.
