Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бриллинджер Д.Р. -> "Временные ряды. Обработка данных и теория." -> 59

Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.

Бриллинджер Д.Р. Временные ряды. Обработка данных и теория.: Монография. Перевод с английского.. Под редакцией А.Н. Колмогорова — М.: Мир, 1980. — 536 c.
Скачать (прямая ссылка): 1980brillindzher_d_vremennye_ryady_obrabotka_dannyh_i_teoriya.djvu
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 163 >> Следующая


Интересной может оказаться также следующая ситуация: пусть ряд X (t) определен для-всех действительных чисел t, —оо<7<оо. (До сих пор мы рассматривали X (t) определенным только для ' = 0, ±1, ...). Предположим, что

определена для —оо < /, и < оо и удовлетворяет условию

Са(и)^соу {X (t +U)9 Х(/)}

(5.11.23)

. со

S sup \cxx(v)\<oo;

(5.11.24)

«s=-со w<u<w + 1

тогда определены как

00

fxx(l) = (2л)-1 2 cxx(u)exp{—iKu\, (5.11.25)

U = - со

так и

со

Sxx (^) = (2^)-1 j ^x(")exp{— (5.11.26)

- со

для —оо < X <оо. Функция /ж (X) называется спектром мощности дискретного ряда X(t)> * = 0, ±1 ,*...»'в то время как gxx(X)> —оо < X <оо, 'называется спектром мощности непрерывного ряда X(t), —оо<^<оо. Спектр gxx(X) чаще всего имеет тот же характер, что и спектр fxx(X). Эти два спектра, согласно (5.11.26), связаны следующим соотношением:

oo

Схх ("¦)= S exp{iul\gxx(%)di

— oo

со 2Я(/+1)

*= S S ^p{iuX\gxx(X)dX

/=-» 2 л/

= $ехр{шА) 2 &х(^ + 2я/)^ (5.11.27)

О / = - QO

для и = 0, ±1, ... . Из (5.11.25) имеем

схх (W) = S exp (Я) dX, (5.11.28)

о

что дает

ZhW= S &х(*+2я/).- (5.11.29)

/= - oo

Как видно из соотношения (5.11,29), частота А, дискретного ряда X(t), t = Oy ±1, связана с частотами X, А,±2я, ... непрерывного ряда X(t), —оо<?<оо, а также с частотами —X9 —X ± 2л;, ... , ввиду того что fxx (X) = /хх (—X). Согласно Тьюки, частоты

Я + 2я/, —Я + 2я/, / = 0, ±1,..., (5.11.30)

называются сопутствующими, а сам эффект—подменой частот. Эти частоты невозможно различить с помощью одной единственной функции fxx(X). В качестве подтверждающего примера рассмотрим ряд

Х(<ИДсоз(ю* + ф), (5.11.31)

—оо < t <оо, где величинаФраспределена равномерно на(—я, я).: Для этого непрерывного ряда имеем

cxx(u) = zov{X(t + u)> X(t)\ = ±R*cosии, (5.11.35)

—оо<м<оо, и из определения (5.11.26) —

gxx (*) = т #2 [б - *>) + б (X + ю)]. # (б Л1.33)

Эта функция имеет бесконечные пики в точках Л, = ±ю. Рассматривая теперь функцию (5.11.32) для / = 0, ±1, ..из (2.10.8) или (5.11.29) мы имеем

fxx W = I #2 [л (*- + т, (X + со)]. (5.11.34)

Последняя функция имеет бесконечные пики в точках А, = ± со + 2я/, / = 0, ±1, ... , так что со не может быть точно определено, о нем можно сказать лишь, что оно совпадает с одной из этих частот. В практической ситуации мы не можем знать наверное, какая из частот ±со + 2я/, / = 0, ±1, ... , реально соответствует пику, если оценка спектра мощности /(/х(Х), вычисленная для O^ X^ я, дает пик в точке со.

Однажды автор столкнулся с подобной ситуацией: производился периодический отсчет числа электронов, попадающих в коническое отверстие вращающегося вокруг своей оси спутника серии Explorer (Зонд). Измерялось остронаправленное поле электронов, так что поступающие данные должны были иметь периодическую составляющую, соответствующую периоду вращения спутника. Планировалось, что частота отсчета данных и скорость вращения спутника будут связаны между собой так, что частота вращения X попадает в интервал—0 < X < я. В действительности скорость вращения спутника оказалась выше планируемой, так что частота вращения попала вне интервала 0 < X < я. Исследованный спектр, в самом деле, содержал значимый пик, и нужно было решить, какая из сопутствующих частот дала этот пик. В данном случае это оказалось возможным только благодаря наличию оптической информации, давшей грубую оценку этой частоты.

Предварительная фильтрация данных иногда может уменьшить трудности, вызываемые подменой частот. Предположим, что непрерывный временной ряд X(t), —оо</<оо, фильтруется с помощью фильтра с полосой пропускания [—я/ —л, —я/], [я/, nj + я] и после этого записывается в точках ? = 0, ±1, .

В таком случае из (5.11.29) следует

/н W і + (5.11.35)

что значительно упрощает исследование.

Мы закончим этот параграф обсуждением свойств выборки из временного ряда X(t)9 —оо<?<оо, через равные промежутки времени h > 0. Таким образом, в промежутке времени [0, T) теперь записываются значения X(Uh)9 U = O9 /7 — 1, где U = T/h. ?сли ряд стационарен и имеет ковариационную функцию cov{X(uh)9 X(0)}=cxx(uh)9 U = O9 ±1, ... > причем

І \cxx(uh)\«x>9 (5.11.36)

U= - оо

то мы определим спектр мощности fxx(К), —оо<Х<оо, формулой

oo

їхх(Ц = ^ H схх (uh) ехр {-iXuh\ (5.11.37)

U= -со

или в обращенном виде

я/А

cxx(uh)= j 7„(Х,)ехр{ШЖуЛ. (5.11.38)

-я/А

Из приведенной формулы видно, что спектр мощности fxx(ty имеет период 2я/Л. А так как fxx(—X) = fxx(k)9 то в качестве основного частотного интервала можно выбрать [0, я/Л]. В этом случае выражение (5.11.29) представляется в виде

со

ZhW= E to(b+x)- (5-11.39)

/= - оо

Верхний предел интервала [0, я//і], а именно я/Л, называется частотой Найквиста или частотой свертки. Если ряд Х(0> —оо<?<оо, не имеет компонент с частотами, большими, чем частота Найквиста, то выполняется равенство

/н = (А) (5.П.40)

для \X\^.n/h и не возникает никаких подмен частот.
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 163 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed