Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бриллинджер Д.Р. -> "Временные ряды. Обработка данных и теория." -> 56

Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.

Бриллинджер Д.Р. Временные ряды. Обработка данных и теория.: Монография. Перевод с английского.. Под редакцией А.Н. Колмогорова — М.: Мир, 1980. — 536 c.
Скачать (прямая ссылка): 1980brillindzher_d_vremennye_ryady_obrabotka_dannyh_i_teoriya.djvu
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 163 >> Следующая


знать оценку спектральной меры

''иг W = Sf« («)<**. (5-10.1)

о

введенной в § 2.5. Точно так же во многих ситуациях интересно оценить ковариационную функцию

2Jt

схх(и)=" \exp{iua\fxx(a)da9 (5.10.2)

о

а также широкополосную оценку спектрального среднего

2Jt

j W(K—a)fxx{a)day (5.10.3)

о

где W (ос)—весовая функция с периодом 2я, сконцентрированная около точек а = 0 (mod 2я).

Выражения (5.10.1), (5.10.2) и (5.10.3) являются частными случаями более общего:

2Jt

J(A)=$A(a)fxx(a)da (5.10.4)

о

для некоторых функций Л (а), 0^а<2я. По этой причине мы займемся кратким исследованием оценки (5.10.4) для заданных функций Л (а). Эту задачу рассматривал Parzen (1957). В качестве первой оценки рассмотрим статистику

T-I

/<г>(А)= 2* g А 9 (S<10.5)

гДе 1{хх С0> ¦— оо < X < оо,— периодограмма, построенная по значениям X(t), t = 0, T—1. Применение в качестве статистики дискретной суммы со значениями в точках 2ns/T дает возможность использовать для вычислений алгоритм быстрого преобразования Фурье. Положим

f 1, 0<а<А,,

Л(а) = < п (5.10.6)

4 7 { 0 в противном случае, 4 '

что приводит к следующей оценке спектральной меры Fxx(k): WQ)=T- E Пк№). (5.10.7)

Положим

А(а) = ехр{ша}, 0<ос<2я, (5.10.8)

что приводит, согласно упр. 3.10.8, к оценке схх(и) круговой ковариационной функцией

срх («) = T-* 2* [X(/ + и)-сТх] [X {t)-cp ]. (5.10.9) / = о

(Здесь X (t), t = 0, ± 1, ...,— периодическое продолжение X (О с .периодом Т.) Выбор функции

A(O) = W(X-а), 0<а<2я,. (5.10.10)

приводит нас к рассмотрению спектральной оценки вида

S = 1 ^

В упр. 5.13.31 приведена статистика, которая иногда используется в стационарных гауссовских рядах для проверки гипотезы о наличии у ряда спектра мощности fxx(X). Справедлива

Теорема 5.10.1. Пусть X(t), t = 0, ±1, ... ,— действительный ряду удовлетворяющий условию 2.6.2 (1). Пусть функции Aj (ос), 0^а<2я, ограничены и имеют ограниченную вариацию для / = 1, ..., ./. Тогда

T-I

EJ™ (Aj) = ? ? Aj (^) (f-s) + О (T-I)

= S Лу(а)/хх(а)^а+0(Т-*), / = 1, Л (5.10.12)

о

Далее,

COV {J™ (Aj)9' JW(AJ}

2Л 2Я

= Щг J Aj(2n-a)ВД/я(о)«4«+^ J А,(а) Л^)/„(а)»Лх

о о

2я 2Л

+ ^ JJ Ay (а) ^T(WfMWК P. -а)Л*ф + 0(7-). (5.10.13)

о о

Кроме того, JiT)(Aj), J=I9 /, асимптотически имеют совместное нормальное распределение и указанную выше структуру первых и вторых моментов.

Из выражения (5.10.12) видно, что J(T)(Aj) является асимптотически несмещенной оценкой для J (Aj). Она является также и

состоятельной оценкой ввиду того, что ее дисперсия стремится к 0, когда Т—+оо.

Если Л (а) выбрать согласно (5.10.6), то формула (5.10.13) приводит к следующему выражению для оценки спектральной меры Fxx(%)\

lim T cov {FTx (Ц, FTxM}

T -> се

min (К її) К ц

= 2я J fKX (a) da + 2я $ $ (а, 0, — а) dadp,

0 0 0

0<А,, р,<я. (5.10.14)

В случае оценки ковариационной функции схх(и) с Л (а), заданной выражением (5.10.8), из (5.10.13) следует

Hm T cov {CTx(K)9 сТхМ\

T -> со



== 2я J ехр {— і (u + v) a} fxx (a)2 da о



+ 2я J ехр {і (и — у) a} fxx (a)2 da о

2я 2я

+ 2я J 5 ехр {* (на—10)} fxxxx (a, р, — a) dad$9 о о

и, O = O1 ±1, ... . ' (5.10.15)

В случае широкополосной спектральной оценки (5.10.10) из (5.10.13) следует

lim T cov }ТхШ

T со



«== 2я J Г (А, + a) W (fx—a) f„ (a)8 da о



+ 2я \W (X—a)W (\i-a)fxx(ayda о

2я 2rt

+ 2я J J W(K-a)W(\i—$) fXXXx (а, Р, — а)Жхф. (5.10.16)

о о

В случае постоянной весовой функции спектральные оценки fTx(X) и fTx iv) не будут асимптотически независимы, как это было раньше.

Если вычислены оценки fxX (а) и fxxxx (a, р, у), то мы можем подставить их в выражение (5.10.13) и получить оценку для

I_I_I_I_?

О .125 .250 .375 .500

X/ZTC

Рис. 5.10.1. График F{px (X)IFpx (л) для среднемесячных чисел солнечных пятен за 1750—1965 гг. (По горизонтали—частоты в цикл/месяц.)

дисперсии JiT)(Aj). Если при этом использовать асимптотическую нормальность этой оценки, то можно получить приближенные доверительные границы для этого параметра.

В некоторых ситуациях предпочтительнее использование оценки с непрерывной весовой функцией

2я T-I

IA(O)I1P^m х_е<р (a)da = 2n-^ 2 а(и)сТх(и), (5.10.17)

0 и=-Т+\

где с(хх(и)—выборочная ковариационная функция, определенная выражением (5.9.4) и



a(u)= j ехр {— шос} A (ос)da. (5.10.18)

о

Так, например, в случае Л (ос) = ехр {ша} мы получим выборочную ковариационную функцию с(Рх(и) в отличие от круговой функции, полученной ранее.

Оценка (5.10.17) ненамного отличается от оценки (5.10.5); справедлива

Теорема 5.10.2. Пусть Л (а), 0 ^ а < 2я,— ограниченная функция, имеющая ограниченную вариацию. Пусть X(t),

*-0, ±1,

Г-1

,удовлетворяет условию 2.6.2 (1). Тогда

О

= 0(71-1). (5.10.19)

S=I

Как видно, эти две оценки близки для больших T и их асимптотические распределения совпадают.
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 163 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed