Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
знать оценку спектральной меры
''иг W = Sf« («)<**. (5-10.1)
о
введенной в § 2.5. Точно так же во многих ситуациях интересно оценить ковариационную функцию
2Jt
схх(и)=" \exp{iua\fxx(a)da9 (5.10.2)
о
а также широкополосную оценку спектрального среднего
2Jt
j W(K—a)fxx{a)day (5.10.3)
о
где W (ос)—весовая функция с периодом 2я, сконцентрированная около точек а = 0 (mod 2я).
Выражения (5.10.1), (5.10.2) и (5.10.3) являются частными случаями более общего:
2Jt
J(A)=$A(a)fxx(a)da (5.10.4)
о
для некоторых функций Л (а), 0^а<2я. По этой причине мы займемся кратким исследованием оценки (5.10.4) для заданных функций Л (а). Эту задачу рассматривал Parzen (1957). В качестве первой оценки рассмотрим статистику
T-I
/<г>(А)= 2* g А 9 (S<10.5)
гДе 1{хх С0> ¦— оо < X < оо,— периодограмма, построенная по значениям X(t), t = 0, T—1. Применение в качестве статистики дискретной суммы со значениями в точках 2ns/T дает возможность использовать для вычислений алгоритм быстрого преобразования Фурье. Положим
f 1, 0<а<А,,
Л(а) = < п (5.10.6)
4 7 { 0 в противном случае, 4 '
что приводит к следующей оценке спектральной меры Fxx(k): WQ)=T- E Пк№). (5.10.7)
Положим
А(а) = ехр{ша}, 0<ос<2я, (5.10.8)
что приводит, согласно упр. 3.10.8, к оценке схх(и) круговой ковариационной функцией
срх («) = T-* 2* [X(/ + и)-сТх] [X {t)-cp ]. (5.10.9) / = о
(Здесь X (t), t = 0, ± 1, ...,— периодическое продолжение X (О с .периодом Т.) Выбор функции
A(O) = W(X-а), 0<а<2я,. (5.10.10)
приводит нас к рассмотрению спектральной оценки вида
S = 1 ^
В упр. 5.13.31 приведена статистика, которая иногда используется в стационарных гауссовских рядах для проверки гипотезы о наличии у ряда спектра мощности fxx(X). Справедлива
Теорема 5.10.1. Пусть X(t), t = 0, ±1, ... ,— действительный ряду удовлетворяющий условию 2.6.2 (1). Пусть функции Aj (ос), 0^а<2я, ограничены и имеют ограниченную вариацию для / = 1, ..., ./. Тогда
T-I
EJ™ (Aj) = ? ? Aj (^) (f-s) + О (T-I)
= S Лу(а)/хх(а)^а+0(Т-*), / = 1, Л (5.10.12)
о
Далее,
COV {J™ (Aj)9' JW(AJ}
2Л 2Я
= Щг J Aj(2n-a)ВД/я(о)«4«+^ J А,(а) Л^)/„(а)»Лх
о о
2я 2Л
+ ^ JJ Ay (а) ^T(WfMWК P. -а)Л*ф + 0(7-). (5.10.13)
о о
Кроме того, JiT)(Aj), J=I9 /, асимптотически имеют совместное нормальное распределение и указанную выше структуру первых и вторых моментов.
Из выражения (5.10.12) видно, что J(T)(Aj) является асимптотически несмещенной оценкой для J (Aj). Она является также и
состоятельной оценкой ввиду того, что ее дисперсия стремится к 0, когда Т—+оо.
Если Л (а) выбрать согласно (5.10.6), то формула (5.10.13) приводит к следующему выражению для оценки спектральной меры Fxx(%)\
lim T cov {FTx (Ц, FTxM}
T -> се
min (К її) К ц
= 2я J fKX (a) da + 2я $ $ (а, 0, — а) dadp,
0 0 0
0<А,, р,<я. (5.10.14)
В случае оценки ковариационной функции схх(и) с Л (а), заданной выражением (5.10.8), из (5.10.13) следует
Hm T cov {CTx(K)9 сТхМ\
T -> со
2Я
== 2я J ехр {— і (u + v) a} fxx (a)2 da о
2я
+ 2я J ехр {і (и — у) a} fxx (a)2 da о
2я 2я
+ 2я J 5 ехр {* (на—10)} fxxxx (a, р, — a) dad$9 о о
и, O = O1 ±1, ... . ' (5.10.15)
В случае широкополосной спектральной оценки (5.10.10) из (5.10.13) следует
lim T cov }ТхШ
T со
2Я
«== 2я J Г (А, + a) W (fx—a) f„ (a)8 da о
2Я
+ 2я \W (X—a)W (\i-a)fxx(ayda о
2я 2rt
+ 2я J J W(K-a)W(\i—$) fXXXx (а, Р, — а)Жхф. (5.10.16)
о о
В случае постоянной весовой функции спектральные оценки fTx(X) и fTx iv) не будут асимптотически независимы, как это было раньше.
Если вычислены оценки fxX (а) и fxxxx (a, р, у), то мы можем подставить их в выражение (5.10.13) и получить оценку для
I_I_I_I_?
О .125 .250 .375 .500
X/ZTC
Рис. 5.10.1. График F{px (X)IFpx (л) для среднемесячных чисел солнечных пятен за 1750—1965 гг. (По горизонтали—частоты в цикл/месяц.)
дисперсии JiT)(Aj). Если при этом использовать асимптотическую нормальность этой оценки, то можно получить приближенные доверительные границы для этого параметра.
В некоторых ситуациях предпочтительнее использование оценки с непрерывной весовой функцией
2я T-I
IA(O)I1P^m х_е<р (a)da = 2n-^ 2 а(и)сТх(и), (5.10.17)
0 и=-Т+\
где с(хх(и)—выборочная ковариационная функция, определенная выражением (5.9.4) и
2Я
a(u)= j ехр {— шос} A (ос)da. (5.10.18)
о
Так, например, в случае Л (ос) = ехр {ша} мы получим выборочную ковариационную функцию с(Рх(и) в отличие от круговой функции, полученной ранее.
Оценка (5.10.17) ненамного отличается от оценки (5.10.5); справедлива
Теорема 5.10.2. Пусть Л (а), 0 ^ а < 2я,— ограниченная функция, имеющая ограниченную вариацию. Пусть X(t),
*-0, ±1,
Г-1
,удовлетворяет условию 2.6.2 (1). Тогда
О
= 0(71-1). (5.10.19)
S=I
Как видно, эти две оценки близки для больших T и их асимптотические распределения совпадают.