Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
V-I
ITx(K t) = (2nV)^
s X (V + IV) ехр {— iX (V + IV)}
V = o
для — оо < Я< оо, I = O9 ... , L — 1. Пусть также
L-I
WxW = L-1Z Ifx(X, I),
i = о
(5.9.20)
(5.9.21)
где T = LV. Тогда fxx W имеет асимптотическое распределение fxx{fylld(2L)y если Хф0(то&п)у и асимптотическое распределение fXX(X)%2L/Ly MAM X= ± tly ±3я, ... и V —> оо.
Оценку (5.9.21) предложил Bartlett (1948b, 1950), ее исследовали также Welch (1967), Cooley, Lewis, Welch (1970). По сравнению с другими эта оценка имеет преимущества ускоренных вычислений, особенно, когда V достаточно велико. Кроме того, она позволяет изучать ряд на стационарность. Welch (1967) предложил использовать периодограммы, вычисленные по пересекающимся временным интервалам. Спектральные оценки, основанные на преобразовании Фурье, рассматривали Akcasu (1961) и Welch (1961). На основании приведенной теоремы можно построить доверительные границы для fxx(Х)у если 1{хх(Ху I)9 t = 0t L—1, считать L независимыми оценками fXx(^)-
Как отмечалось в предыдущем параграфе, для оценки спектра мощности может быть использована также авторегрессионная
схема. Оценку спектра мощности ряда остатков Y (t) для последовательности значений т рассматривал Parzen (1964) в том случае, когда эта оценка близка к постоянной; в качестве оценки мы можем принять
где Л(Г) (к) есть передаточная функция фильтра, переводящего основной ряд в ряд остатков. Естественно, что эта процедура тесно связана с предварительной фильтрацией. Некоторые статистические свойства этой процедуры рассматривали Kromer (1969), Akaike (1969а); рассматриваются они также в § 8.10.
В процессе работы над данной главой мы пришли к важному выводу о существенном влиянии параметров* эффективной ширины т или ВТ на статистические свойства оценки. В самом деле, выбор формы весовой функции используемой оценки становится несущественным, если мы приводим к белому шуму исходный ряд. Существенной будет только ее эффективная ширина. Параметры т или B7 мы надеялись определить из ожидаемой статистической устойчивости. Если же у нас не было четкого представления об этой устойчивости, мы использовали последовательность предлагаемых параметров. Leppink (1970) для выбора необходимой оценки предлагал оценивать Bx на основании исходных данных, см. также Picklands (1970). Daniels (1962) и Akaike (1968b) предлагали процедуру для модификации оценки.
В случае когда X(t)f t = 0> ±1, является гауссовским рядом с нулевым средним, оценку, основанную на величинах
(где sgnX=l, если Х>0 и sgnX = — 1, если X < 0), предложил Гольдштейн; см. Rodemich (1966); обсуждение этой оценки можно найти в работах: Hinich (1967), McNeil (1967) и Brillinger (1968). Rodemich (1968) рассматривал оценку для построенную по сгруппированным значениям ряда X(t).
Jones (1962b) и Parzen (1963а) предложили оценки для случая, когда 'имеются систематические пропуски значений X(t)y / = 0, 7—1.- Brillinger (1972) рассматривал оценку, когда ~X(t) наблюдается в моменты T1, ...,тя, являющиеся значениями точечного процесса. Akaike (1960) изучал процесс X(t)y наблюдаемый для значений t, близких к точкам 0, 1, ..., T—1; такие Наблюдения мы будем называть возмущенными выборками.
Писаренко (1972) был предложен некоторый класс нелинейных оценок. Предположим, что ряд наблюдений разделен на L сег-
ментов. Пусть c(&(ufl), U = O1 ±1, ...; / = 0, L-I9 озна-
I Л(Г)|-2Г~^2 Y(t)\ t = о
(5.9.22)
Y(t) = sgnX(t)9 t = 0, T-I
(5.9.23)
чает оценку ковариационной функции, построенной на сегменте /. Пусть Uf\ / = Jy означают собственные значения
и векторы матрицы ^L'1 Щс$х(І — 0» /, Л = 1, ..., ./j. В таком
случае предлагаемая оценка имеет следующий вид:
h [Jl1 H (№) (2л/)-1 Jj ?/>ї>ехр {- Л/} j'] , (5.9.24)
где Н(х)у 0<#< оо,— строго монотонная функция и Л (^ — обратная к ней. Эта оценка основана на определении матричной функции 3.10.27. В случае Н(х) = х оценка (5.9.24) представляется в виде
L-I J
І-*?(2я/Г1 X (\-Щ сТх(иу 1)ехр{-іиЦу (5.9.25)
что совпадает с оценкой (5.9.21), если J = V. В случае #(#) = лгх оценка представляется в виде
j 1-і
(2я/)-* 2 С(Д>ехр{— , (5.9.26)
где [C^P]— матрица, обратная матрице, собственные значения и векторы которой вычислены. Оценку (5.9.26) с высокой разрешающей способностью рассматривал Capon (1969). Писаренко (1972) показал, что для нормального ряда с /, L—*oo, когда T—^oo, оценка (5.9.24) будет асимптотически нормальной с дисперсией
HhW1II + 4 {Щ1 (5.9.27)
Capon, Goodman (1970) приближали распределение (5.9.26) с помощью fxx (k) xIl-2J+i/2L, если кф О (mod я), и fxx (к) +1/L, если к=±п, ±3я, ....
Иногда нас может интересовать оценка спектра мощности с помощью параметрической модели. Полезные общие замечания в этом направлении содержатся в работах Whittle (1951, 1952а, 1961). Некоторые частные модели рассматривали Box, Jenkins (1970).
5.10. Оценки спектральной меры и ковариационной функции
Пусть X(t)y t = 0, ±1, ...,— действительный ряд с ковариационной функцией схх(и)у и = Оу ±1, и спектральной плотностью fxx (к), — оо<Х<оо. Во многих ситуациях интересно
