Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
5.9. Другие оценки спектра мощности
Рассматриваемые до сих пор оценки спектров являлись взвешенными средними значениями периодограмм частот 2jts/7\ s = 0, 7і—1. Использование такой оценки оправдывается тем, что при больших T эти частные значения периодограммы могут быть вычислены с помощью алгоритма быстрого преобразования Фурье (§ 3.5), а их совместное распределение при больших выборках довольно элементарно (теоремы 5.2.6 и 4.4.1). В этом параграфе мы рассмотрим некоторые другие оЦенки.
Рассмотренная в § 5.6 оценка спектра имела следующий вид:
^^^^^^^(Ь), _оо<Х<оо. (5.9.1)
s=I
Если дискретное среднее в (5.9.1) заменить непрерывным, то оценка будет выглядеть следующим образом:
J WiT) (X-Ct) /?), х_с<р (a)da
со
= Bf1 j W (Bf1O) 1(Р_с(р, х-сф (*•-«) da. (5.9.2)
— СО X
В этом случае
7-1
/!^сф,х-сФ(а) = (2я)-« 2 c'Px(u)exp{-i%u}, (5.9.3)
где
сТх (и) = Г-* 2 + сТ] [X (0 - сТ1 (5.9.4)
0< t, t + uK T-I
Произведя такую замену в формуле (5.9.2), мы придем г выражению
T-і
(2Я)"1 S w {B7U) сТх {и) ехр {— ІЩ, (5.9.5)
и=-Т+\
где
со
W(U)= S W (а) ехр {iua} da. (5.9.6)
— со
Оценку (5.9.5) исследовали в общей форме Grenander (1951а), Grenander, Rosenblatt (1957) й Parzen (1957); некоторые частные случаи этой оценки рассматривали Bartlett (1948b), Hamming, Tukey (1949), Bartlett (1950). Оценка (5.9.5) широко использовалась до появления алгоритма быстрого преобразования Фурье.
В действительности оценки (5.9.1) и (5.9.2) имеют в основном одинаковый характер и почти совпадают. Например, в упр. 5.13.15 показано, что оценка (5.9.5) может быть представлена как среднее дискретных значений периодограммы для любых целых S ^ 2Т — 1 в следующей форме:
*» ? Wm /</• (|f) . (5.9.7)
S = i
см. также Parzen (1957). Выражение (5.9.7) использует в два раза больше значений периодограмм, чем выражение (5.9.1). В случае когда S очень велико, оно может быть вычислено с помощью быстрого преобразования Фурье ряда
(X(o при ^ = 0,...,7-1, Х(0 = \0 при* = 7\ .,.,S-I, (5'9-8)
или получено вычислением с помощью быстрого преобразования Фурье, согласно упр. 3.10.7, величин с$$(и), и = 0, ±1, с последующей оценкой выражения (5.9.5) также с помощью быстрого преобразования Фурье. Обратно, оценка (5.9.1) может быть представлена, как показывает упр. 5.13.15, в форме непрерывного среднего значений периодограммы
j ЬГ.(,_Ь)См (^-a)/?.e?U4r,(«)d«. (6.9.9) где
sin (г—5-) а
Яг-і(а) = —*-г^—. (5.9.10)
2я sin -g- а
Равномерную оценку разности двух статистик дает
Теорема 5.9.1. Пусть W(а), — оо<а<оо, удовлетворяет условию 5.6.1 и имеет ограниченную производную. Тогда
S=I -л
2л
< LB^r-1 (S?1+ log T) J /? х.е(Г)(а)Лх
о
< LBt1T-^ {Вт1 + log Г) с& (0) (5.9.11) ддя некоторого конечного Lu —оо < Я < оо.
Очевидно, что в том случае, когда ВТ стремится к 0 не слишком быстро, асимптотическое поведение этих двух оценок практически совпадает.
При обсуждении интерпретации спектра мощности, приведенном в § 5.1, была предложена некоторая спектральная оценка. Так, пусть А (а) означает передаточную функцию узкополосного фильтра, такого, что
A (Cc)=LO при |а±А,|>Д, (5.9.12)
— я<а, Я<я, А мало и
J I A (a) I2da= 1. (5.9.13)
~Я
Свойства таких фильтров обсуждались в § 2.7, 3.3 и 3.6. Пусть X(tfX), t = 0, ±1, означает временной ряд на выходе такого фильтра; тогда
я
EX (t, %У = J IA (a) I2 fxx (a) da + \A (0) |» Cx
-Я
if„(i), если Хф0(mod 2л). (5.9.14)
Это приводит к рассмотрению в случае A, ^O (mod 2я) оценки
T-i
T-1 2 X(t9 X)2. (5.9.15)
* = о
В действительности эта оценка была первой спектральной оценкой, использовавшейся на практике; см. Pupin (1894), Wegel Moore. (1924) Blanc-Lapierre, Fortet (1953). Такая оценка является одной из общеупотребительных во временных процессах. Обсудим свойства этой оценки, предположив, что
А (а) ^ [ Y^k+T) при |а±Я|<^(т + 1), {59Щ {0 в противном случае, —я < а < я.
Если dx I1 x) (2ns/T) обозначает дискретное преобразование Фурье значений X(t, X), t=0, Т— 1, выхода фильтра и 2ns(T)/T^X, то
dxt..h(-Y-У 4я (2m+l)dx [-T-) '
(5.9.17)
d<p f2nlT-s(T)-s]\ . ,/ Г »г, /2я[Г-8(Г)-8І\
«х,..*^-f-j= in{2m+l)dx [—г-)
для s = 0, ±1, ±т и асимптотически равно 0 в противном случае. Из равенства Парсеваля следует, что
T-" S X (t, Xy= Г - SU}., я, ( 2я [s(j) + S] ) 2 (5.9.18)
*=0 s 1 . .
и поэтому асимптотически равно
т
(2т + 1)- ? /? (М?ІП±?І) . (5.9.19)
s--т
Таким образом, оценка (5.9.15) имеет ту же форму, что и оценка (5.4.Л).
Из теоремы 5.3.1 следует, что ординаты периодограмм одинаковых частот Хф 0 (mod л;), вычисленные * по различным временным интервалам, асимптотически независимые fxx (К) %^/2-перЄі менные. Этот результат дает возможность построить оценку путем осреднения по различным временным интервалам. В самом деле, справедлива
Теорема 5.9.2. Пусть X(t), t = 0y ±1, ... ,—действительный временной ряду удовлетворяющий условию 2.6.1. Пусть