Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 5.6.1. Пусть X(t), t = 0, ±1, ...,—действительный ряд, причем EX(t) = cx и cov {X (t + и), X(t)} = cxx(u) для t, U = O9 ±1, ... . Предположим, что
QO
S \u\\cxx(u)\<oif. (5.6,6)
mss-oo
Пусть fxx (X) задается формулой (5.6.1). Тогда
T-I
EfIx W = ^? W™ (х-Щ fxx (Щ + О (T-I)
S=I ^ ' ^
со
= S W (f>)fxx (X-B7P)W+ 0(BfT-*) (5.6.7)
— 00
для — оо < X < оо, где W ф) удовлетворяет условию 5.6.1. Остаточный член равномерен по X.
Как видно, математическое ожидание величины fxx (X) является взвешенным средним функции fxx(a)> —оо<а<оо, с весами, сконцентрированными в интервале, содержащем X- и имеющем длину, пропорциональную ВТ. Справедливо
Следствие 5.6.1. Если выполнены условия теоремы и ВТ—>0 при Т—>оо, mo fxx (X) является асимптотически несмещенной оценкой для fxx W у т- е-
Hm Е/&(Я) = ^Х(Я), — оо<Я<оо. (5.6.8)
T -> oo
Свойством асимптотической несмещенности обладала также и оценка § 5.5. Свойства моментов второго порядка оценок по большим выборкам выясняет
Теорема 5.6.2. Пусть X(t)> t = Oy ±1, —действительный ряд, удовлетворяющий условию 2.6.2 (1). Пусть fix(X) задается формулой (5.6.1), где W ф) удовлетворяет условию 5.6.1. Тогда
cov {fxx (X)1
= (^)2 ? W™ (х-Щ W™ fx, (Щ2
+ (?' E *m (Х-Щ ([X +Щ fXx [Щ' + О (ТП)
2я
==2яГ-і j W{T) (Х—а) WlT) ([і-a) fxx(cc)2dct о
2я
+ 2яГ-і j W™ (X-a) Wm (\i + a) /ы (а)2da о
+ О (Я?2^2) + О (Г-*) (5.6.9)
для — оо < Я# (X < оо.
Ниже, в следствии (5.6.2), мы будем использовать функцию
( 1, если X = 0 (mod 2л), x][X] = I Л (5.6.10)
111 [ 0 в противном случае,
которая является периодическим продолжением дельта-функции Кронекера
(1, если X = 0,
6{M = S а (5-6.11)
{ ' { 0 в противном случае.
Следствие 5.6.2. Если выполнены условия теоремы 5.6.2 и B7T —> оо при T —> оо„ то
lim ВТТcov{/S(X), /(Л(ц)}
Г со
= 2я[Л{Л-ц}Ч Л^ + ^П/хИ*)2 S W(P)Mp- (5-6.12)
- х
Из этого выражения при jx= Я следует, что
/ CC
BT1T-^nIxx(Xy J Г(Р)2гірприЯ#0(пкхі л),
(5.6.13)
Br1T-1AnI^(Xf J №(P)2dpnpH?i^0(modn).
Таким образом, в каждом из этих случаев D/xx(X) стремится к нулю при B1T—+оо. В следствии 5.6.1 мы видели, что если B7 —>¦ 0 при T —> оо, то и Е/хх W —* fxxW- Поэтому оценка (5.6.1) при выполнении условий теоремы 5.6.2 обладает свойством
Hm Е|/$ (A)-^(X)I' = О, (5.6.14)
T ¦
если Вг->0 и ВтТ—+оо. Такую оценку называют состоятельной в среднеквадратичном.
Заметим, что согласно выражению (5.6.13) дисперсия удваивается в точках X = 0, ± я, ± 2я, ... . Еще более информативно выражение (5.6.9). Оно показывает, что этот асимптотический эффект сохраняется в окрестностях точек X = 0, ± я, ±2зт, размеры которых имеют порядок Вг.
. Из (5.6.12) следует, что fxx (X) и fxxiv) асимптотически не-коррелированы при T —> оо, если Я— fx, A+ О (mod 2п). Асимптотическое распределение fxx (X) исследует
Теорема 5.6.3. Пусть X(t)y t = 0, ±1, ..., — действительный ряд, удовлетворяющий условию 2.6.1. Пусть fxx (X) задается фор-
мулой (5.6.1), где W ф) удовлетворяет условию 5.6.1. Предположим, что 1ХК (Xj) Ф О, / = 1, ..., /. Тогда величины fxx (X1),...
fxx (Xj) асимптотически нормальны и имеют ковариационную структуру, задаваемую формулой (5.6.12) при Т—+оо и ВТТ-+оо, Вт-+0.
Оценка, рассматриваемая в § 5.4, имела асимптотическое рас-, пределение, пропорциональное %2 в условиях осреднения по конечному числу ординат периодограммы. В данном случае число осредняемых ординат периодограммы возрастает до оо вместе с T9 что, естественно, ведет к асимптотической нормальности оценки. Одним из интересных следствий теоремы является асимптотическая независимость /й (X) и /xi(fx), когда X ± \лфО (mod2rc). Из теоремы вытекает
Следствие 5.6.3. В условиях теоремы 5.6.3 и в предположении, что /хх(^)^0, величина \g fxx (X) имеет асимптотически нормальное распределение, дисперсия которого задается формулами
D Ig fx4 (X)
' Bt1T-1 (\ge)*2n j W (P)2 dp, если Хф 0 (mod л),
Bj1T-I(IgC)2 4л I W ф)Ы$, если X= О (modя).
(5.6.15)
Из этого следствия вытекает, что дисперсия log fxx (X) слабо зависит от величины fxx(X) и от X при больших Т. Таким образом, график значений log fxx (X) может быть более показательным, чем график fxx (X). В действительности это часто применяется в инженерной практике и было сделано для различных оценок спектра этой главы.
Состоятельные оценки спектра мощности были получены в работах: Grenander, Rosenblatt (1957), Parzen (1957, 1958). Эти же авторы, а также Blackman, Tukey (1958) исследовали асимптотическое среднее и дисперсию. Асимптотическую нормальность изучали в различных условияхРоБепЫаи (1959), Brillinger (1965b, 1968) Brillinger, Rosenblatt (1967а), Hannan (1970), Anderson (1971). Представляет интерес работа Jones (1962а).
В случае когда наблюдаемые величины предварительно сглаживаются во времени, аналогично теореме 5.6.3 справедлива
Теорема 5.6.4. Пусть X(t), t = 0, ±1, ...,—действительный ряд, удовлетворяющий условию 2.6.1, a h (t), — оо < t < оо, —временное окно, удовлетворяющее условию 5.6.1. Пусть также W (а),
