Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бриллинджер Д.Р. -> "Временные ряды. Обработка данных и теория." -> 49

Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.

Бриллинджер Д.Р. Временные ряды. Обработка данных и теория.: Монография. Перевод с английского.. Под редакцией А.Н. Колмогорова — М.: Мир, 1980. — 536 c.
Скачать (прямая ссылка): 1980brillindzher_d_vremennye_ryady_obrabotka_dannyh_i_teoriya.djvu
Предыдущая << 1 .. 43 44 45 46 47 48 < 49 > 50 51 52 53 54 55 .. 163 >> Следующая


m

VpPx(X)= fxx(Xf 2 W)-^O(T"1) при ХфО (modя), (5.5.16)

j = -m m . г m "] 2

D[SW-ZnW2S^// 2^/ npuX^0(modn) (5.5.17)

и

cov {рхх (X), PPx (^) = O(T"1). (5.5.18)

Очевидно, дисперсия оценки пропорциональна 2 W) для больших Т. Заметим, что

k

поэтому 2/^/ минимальна при условии 2/^/ = 1» когда

1

2m+1 •

^/ = 1^ГГ. / = 0. ±L ±гп. (5.5.20)

Отсюда следует, что дисперсия величины PIx(X) при больших выборках минимальна, если используются оценки § 5.4. Как еле-

дует из обсуждения теоремы 5.5.1, возможны ситуации, при которых оценка § 5.4 имеет большее смещение по сравнению с оценкой (5.5.2), использующей подходящий выбор Wj. Исследование предельного распределения дает

Теорема 5.5.3. Пусть X(t), t = 0, ±1, —действительный ряд, удовлетворяющий условию 2.6.1. Пусть fxx (X) задается формулами (5.5.2)-(5.5.4), где 2ns(T)/Т —*X, когда Т-+оо. Предположим, что Xj ±Xk=?0 (mod2я) для 1 ^ / < k< /. Тогда

fxx (X1), ..., fxx (Xj) асимптотически независимы и величина fxx (X) асимптотически равна

fxxW.2 WJ%1 (/)/2, (5.5.21)

если ХфО (modя), и fxx W

] = —т

2^H/)/2]/[|^]a (5.5.22)

если X = O (mod я), причем входящие в разные слагаемые переменные х2 статистически независимы.

Как видно, асимптотическое распределение fxx (X) является взвешенной суммой независимых распределений хи-квадрат. Эту аппроксимацию на практике использовать трудно, однако в стандартных статистических процедурах [Satterthwaite (1941), Box (1954)] переменные аппроксимируются наборами 0%*, средние и числа степеней свободы которых можно определить, приравняв первые и вторые моменты. В данном случае мы получим следующие соотношения:

т

Bv= 2 Wj = U (5.5.23)

т

02 2v= 2 Wj9 (5.5.24)

т. Є.

J , (5.5.25)

j--m

и

0 = 1. (5.5.26)

В случае WJ = l/(2m+1) это опять приводит нас к приближению, предложенному в теореме 5.4.3. Приближение распределения оценок

спектра мощности наборами распределений хи-квадрат предлагал Тьюки (1949J. Некоторые другие аппроксимирующие распределения рассматривались в работах: Freiberger, Grenander (1959), Slepian (1958) и Grenander и др. (1959).

В этом параграфе мы получили достаточно гибкую оценку спектра мощности, использующую схему взвешенных ординат периодограмм. Мы рассмотрели асимптотические свойства оценки, включающей 2т +1 взвешенных ординат периодограммы, когда Т—>оо. Для некоторых целей такая процедура может предполагать прямую аппроксимацию по большим выборкам, в других случаях имеет смысл предположить, что m растет вместе с Т. Эту вторую возможность, позволяющую доказать асимптотическую нормальность и состоятельность оценки, мы рассмотрим в следующем параграфе.

Если поведение функции fxx (X) различно в разных интервалах, то возможно применение различных весов Wj и различных m для этих интервалов частот.

5.6. Состоятельные оценки

В этом параграфе мы будем рассматривать оценки вида

№ (Я.) = ~ L (К-Щ ITx ) , - оо < Я< оо, (5.6.1)

s=I

где W{T)(a)y —оо<а<оо, T=I9 2, —семейство весовых функций с периодом 2я, таких, что оценка (5.6.1) по существу включает 2mT+l ординат периодограмм в окрестности X. Для того чтобы получить оценку с дисперсией, стремящейся к нулю при T—> oo, мы будем требовать, чтобы тт—> оо в противоположность постоянному m из § 5.5. Интервал частот, используемых оценкой (5.6.1), имеет длину 2я (2mT+ X)IT9 таким образом, для того чтобы получить асимптотически несмещенную оценку, мы будем требовать, чтобы mT/T —> О при T —> оо. Оценка наследует свойства гладкости WiT)(a).

Удобным способом построения используемой в оценке (5.6.1) весовой функции W(T) со всеми нужными свойствами является введение масштабных множителей B79 T=I9 2, таких, что Вт>09 Вг-*0, ?гТ-^оо, когда Т-^оо, и

W^ (а)= 2 Вг1^(5г1[а + 2я/]),-оо<а<оо, (5.6.2)

где W ф)9 — оо < р < оо,—заданная функция, для которой выполнено

Условие 5.6,1. Функция W ф), где — оо < (3 < оо, есть действительная четная функция ограниченной вариации, причем

S 1Р(р)ф = 1 (5.6.3)

— оо

и

$|^(Р)|Ф<оо. (5.6.4)

Если мы выберем функцию W ф) так, что для |Р|>2я она принимает значение 0, то оценка (5.6.1) включает только те из 2ВТТ +1 взвешенных ординат периодограмм, частоты которых попадают в интервал (X — 2цВт, Х + 2яВт). Следуя введению к этому параграфу, положим тт = ВТТ.

Ввиду того что W{T) (а) имеет период 2я, то же самое будет справедливо и для fxx (Я). Аналогичным образом из соотношения Wm (_а) = Ц7(п (а) следует fPx (— X) = fPx (X). Согласно условию 5.6.1, оценка (5.6.1) может иметь отрицательные значения, однако если мы дополнительно предположим, что W (P) ^ 0, то будет



выполнено fxx W ^0. Ввиду (5.6.3) справедливо $ Wm (a)da= I.

о

Из (5.6.2) для fxx (X) получим выражение

s^O (mod T)

-tj*1* (В*1'[*-Ц) 4V*-c?> (?) . (5-6.5)

которое лучше объясняет структуру fxx(X).

Для больших T сумма весов выражения (5.6.1) ввиду (5.6.3) должна быть близка к 1. Исследователь может потребовать от выражения (5.6.1) равенства суммы весов в точности 1. Это не изменит асимптотических выражений, приведенных ниже. - Исследование математического ожидания величины fxJc(X) по большим выборкам дает
Предыдущая << 1 .. 43 44 45 46 47 48 < 49 > 50 51 52 53 54 55 .. 163 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed