Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
(5.2.24)
графа построен также на следующих работах: Слуцкий (1934), Grenander, Rosenblatt (1957), Kawata (1959), Hannan (1960), Akaike (1962b), Walker (1965), Olshen (1967).
5.3. Дальнейшее изучение периодограммы
Спектр мощности fxx(X) ряда X(t), t = 0, ±1, был определен как
со
fxx(k) = (2n)-> 2 exp{-ihi\cxx{u), (5.3.1)
W = — GO
где схх(и), U = O1 ±1, — корреляционная функция временного ряда. Это приводит нас к новой оценке fxxfi)- Мы можем оценить Схх (и) следующим выражением:
сТк (и) = Т-> 2 (Х(* + ы)-сУ1)(Х(/)-<#)),
0<Л t + u< Г-1
U = O9 ±1, (5.3.2)
где '
CP = T-1 2 X(O, (5.3.3)
/ = 0
и затем, принимая во внимание (5.3.1), оценим fxx{k) выражением (2л)-12 ехр {— іХи) с{Рх (и). (5.3.4)
и
Подставим выражение (5.3.2) в (5.3.4), тогда эта оценка примет вид
(2JiT)-1 2 2 ехр {tsb—Щ (X (S)-Cp) (X (t)—cP)
s = 0 / = 0
Г-1 2
= (2яГ)-* 2ехр{—itX)(X(t) — ср)
* = 0
='i>.,-#w. (5-3-5)
что является периодограммой отклонений наблюдаемых величин от их среднего. При обсуждении теоремы 5.2.2 отмечалось, что
' ^п,х.^М=/ЙМ (5-3.6)
для X = 2ns/T, s^O (modГ), поэтому теоремы 5.2.4 и 5.2.6 относятся и к оценкам вида (5.3.5).
В случае использования временного окна
dP (К) = 2h (t/T) X (t) ехр {- iXt) (5.3.7)
получим
EdP (X) = CjP2h (t/T) ехр {— iXt\ = cxHiT) (X)9 (5.3.8) .
что предполагает использование статистики с нулевым средним dP (X)—c{xT)HW (X) = dP (X)-dP (0) HW (X)IHW (0), (5.3.9)
где
сР ^h(HT) X (Щн (t/T) = dP (0)/HW(O). (5.3.10)
Таким образом, нам нужно рассмотреть преобразование Фурье dx-cW (Ц-dP (X)-dP (0) HW (K)IHW (0), (5.3.11)
основанное на использовании величин с исправленными средними значениями. Заметим, что в терминах представления Крамера из §4.6 последнее выражение может быть записано в форме
dx-cW M = I [HW Q,-a)~HW (X) HW (-a)lHW (0)]dZx (а),
(5.3.12)
показывающей ослабление частотных компонент для X, близких к 0, ±2я. Кроме того, изложенное выше делает теперь вполне оправданным использование видоизмененной периодограммы
1T-^, х-ср <*) = (2^(W)-1I C(T)Wf (5.3.13)
для спектральных оценок в сглаженном случае. Математическое ожидание этой статистики дает решение упр. 5.13.22.
Касаясь некоторых дальнейших свойств периодограмм, отметим, что ординаты периодограмм Ixx(Xj), / = 1, •••» J9 асимптотически независимы для различных Xj9 J = I9 Теорема 5.3.1 показывает, что ординаты периодограмм одной и той же частоты, но построенные по непересекающимся отрезкам данных, тоже асимптотически независимы.
Теорема 5.3.1. Пусть X(t), t = 0, ±1, — ряд с действительными значениями, удовлетворяющий условию 2.6.1. Пусть h (и) удовлетворяет условию 4.3.1 и обращается в нуль при и < 0. Пусть
/)=(2я2>(?)2)-;
V
V-I
X
X(v+lV)exp{-iX(v + lV)}
(5.3.14)
для _оо < X < оо, / = 0, ...,L—1. Тогда при V—+ оо величины 1{хх(Х, I), 1 = 0, ..., L — 1, асимптотически назависимы и имеют асимптотическое распределение /хх(^)Хг/2, если Я (mod я), и асимптотически независимы с распределением fxx(^)%t если X= ±п, ±3я, ....
Этот результат будет использован позднее для построения статистики спектральной плотности. Интересно отметить, что асимптотическая независимость периодограмм достигается или путем разделения данных, согласно последней теореме, на непересекающиеся сегменты, или путем их вычисления по соседним частотам, как это делается в теореме 5.2.7.
В заключение данного параграфа отметим некоторые свойства периодограмм, которые выполняются с вероятностью 1. Начнем с того, что приведем верхнюю границу IXX (X) как функцию X и Т.
Теорема 5.3.2. Пусть X(t), t = 0, ±1, — действительный временной ряд с нулевым средним, удовлетворяющий условию 2.6.3. Пусть h(u) удовлетворяет условию 4.3.1 и, кроме того,
ITx (А.) = (2я? h (y).2 )"1 S h {t) х w ехР ь ш\2
(5.3.15)
Тогда с вероятностью 1 выполняется неравенство
Hm sup Ix7X (X)/log T < 2 sup fxx(X). (5.3.16)
Другими словами, порядок скорости роста периодограммы не превышает log Г, причем в указанных предположениях это выполняется равномерно по X. Практическим следствием этого результата является тот факт, что максимальное отклонение IXX (X) от fxx (X) как функции X становится неограниченно большим, когда Г—^оо. Это является еще одним подтверждением того, что TXX(X) не может быть хорошей оценкой fxxfi)-
Изучим в общих чертах действие линейной фильтрации ряда на периодограмму. Пусть
Y (t) = S a (t - и) X (и) (5.3.17)
и
для некоторого фильтра {а (и)}, удовлетворяющего
2(1+М)Ии)|<оо (5.3.18)
и
и имеющего передаточную функцию A(X). Теорема 4.5.2 показывает, что в условиях регулярности с вероятностью 1 выполняется
sup|dP (ty-A(X)d{P (X)| = 0(kiogt). (5.3.19)
Путем элементарных алгебраических преобразований получаем с вероятностью 1
откуда остаточный член равномерен по X. Другими словами, фильтрации приводит • приблизительно к умножению периодограммы на квадрат модуля передаточной функции фильтра. Аналогичное действие фильтрации на спектр мощности приводится в выражении (5.1.7).
