Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 5.2.5 описывает асимптотическую структуру кова-риаций периодограммы, когда X не обязательно вида 2ns/T.
Теорема 5.2.5. Пусть X(t), t = 0, ±1. — действительный ряд, удовлетворяющий условию 2.6.2(1). Пусть 1{хх(Х) задано
D/ША.) = + 0(7-4,
cov {/^(Х), 1(РХ([1)} = 0(Т-1),
(5.2.18)
(5.2.19)
выражением (5.2.3) и X, jx^O (mod2ji). Тогда
+ [ni^Egi]VaW + 0(7-'), (5.2.20)
причем для данного є > 0 член О (T"1) равномерен по X, |х, о/пл«-чающихся от всех чисел, кратных 2п, по крайней мере на є.
Заметим, что выражение (5.2.20) более информативно, чем (5.2.19): в (5.2.20) можно проследить переход cov {Ipx (X), Tpx (|х)} в DI{xx(k), когда |х—+ X. Оно также объясняет, почему малы ковариации в случае, когда X, \i принимают частные значения, равные 2ns/T и 2яг/Г с целыми s и г.
Мы заканчиваем исследование элементарных асимптотических свойств периодограмм отысканием их асимптотического распределения в условиях регулярности. В теореме 4.4.1 доказана асимптотическая нормальность dp (X) для X вида 2ns/T, s — целое, из которой следует
Теорема 5.2.6. Пусть X (t), t = 0, ± 1, ...,— действительный ряд, удовлетворяющий условию 2.6.1. Пусть Sj(T) — целое, такое, что Xj (T) = 2nsj (T)IT стремится к Xj, когда Г—>оо для всех /=--1, ..., J. Предположим, что 2Xj (T), X-(T) ± Xk (T) ф 0 (mod2ji) для 1 и T=I, 2, ... . Пусть
T-I
lPx(X) = (2nTY
S X(o ехр {— IXt)
=о
(5.2.21)
для всех—оо < X < оо. Тогда переменные Ixx (Xj (T)), j = 1, ..., J,— асимптотически независимые /хх(Яу)х1/2-в^ш«шяб/. Если X= ±я, ±3я, ..., то IXX (X) асимптотически не зависит от предыдущих величин и имеет закон распределения fXx(X)ll-
В теореме 5.2.6 Xv означает случайную величину, распределенную по хи-квадрат с v степенями свободы. В частности, %1/2 соответствует экспоненциальному распределению со средним 1.
Практический вывод теоремы состоит в доказательстве того, что ордината периодограммы 1{хх(Х) приблизительно есть произведение распределений %t Некоторое эмпирическое подтвержде: ние этого заключения дает рис. 5.2.5, на котором приводится множество значений I{Xx(2ns/T), s = T/4, Т/2, ежемесячных средних чисел солнечных пятен, распределенных по хи-квадрат с двумя степенями свободы. Мы выбрали указанные частные значения s потому, что из рис. 5.2.4 и 5.4.3 следует, что fxxfi) приблизительно постоянна на соответствующем интервале частот. Если величины, наносимые на данный график, имеют в дейст-
Рис. 5.2.5. Множество распределенных по %2 500 ординат верхних частот периодограммы ежемесячных средних чисел солнечных пятен за 1750—1965 гг.
вительности распределение %1, то наносимые точки должны лечь примерно вдоль прямой линии. Именно это с очевидностью демонстрирует рис. 5.2.5. Аналогичные графики приводят WiIk и др. (1962).
Теорема 5.2.6 подтверждает высказанное при обсуждении теоремы 5.2.4 предположение о неэффективности периодограммы как оценки спектра мощности. Для больших T ее распределение будет приблизительно произведением xi с двумя степенями свободы и, следовательно, будет крайне неустойчивым. В § 5.4 мы займемся проблемой построения достаточно устойчивых оценок.
Среднее и дисперсия асимптотического распределения I{xx{2nslT), как видно, находятся в соответствии с выборочными средним и дисперсией Ixx(2ns/T)f задаваемыми выражениями (5.2.8) и (5.2,18) соответственно.
Теорема 5.2.6 не дает описания асимптотического распределения IXX {X), когда X = O (mod2jt). Теорема 4.4.1 отмечает, что таким асимптотическим распределением будет fxx (К) %1, когда EX (t) = cx = 0. В случае когда схФ0, теорема 4.4.1 показывает, что приближением выборочного распределения будет fxx(%)%[2, где xi2 обозначает нецентральное распределение с одной степенью свободы и параметром нецентральности \cx\VT/(2nfxx(X)).
В случае сглаженных временных рядов справедлива
Теорема 5.2.7. Пусть X(t), t = 0, ±1, — действительный ряд, удовлетворяющий условию 2.6.1. Предположим, что 2Xj, Xj±Xk^0 (mod2n) для 1</<&^/. Пусть h (и) удовлетворяет условию 4.3.1 и
для —со < А, < оо. Тогда Ixx (Xj), J=U ..., J, асимптотически независимы и распределены как fxx(Xj)%l/2. Если X=±я, ±3я, ... , то IXX (X) асимптотически независимы от предыдущих переменных и распределены как fxx (X) у}.
Как видно, предельное распределение Ixx (X) не изменилось от процедуры сглаживания временного ряда. Однако мы надеемся, что оценки сглаженных рядов при больших выборках будут давать меньшее смещение. Продолжение теоремы 5.2.5 на случай сглаженных рядов дает
Теорема 5.2.8. Пусть X(t), t = 0, ±1,—, есть действительный ряд, удовлетворяющий условию 2.6.2(1), со средним 0. Пусть h(u) удовлетворяет условию 4.3.1 и' Ixx (X) задано формулой (5.2.22). Тогда
Очевидно, зависимость и IXX (у) исчезает, как только
функция ЩТ) становится достаточно малой.
Bartlett (1950, 1966) получил выражение среднего и ковариа-ции периодограммы в условиях регулярности, ему также принадлежит идея аппроксимации распределения многомерным %2-рас-пределением с двумя степенями свободы. Материал этого пара-
