Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
в цикл /месяц.)
Рассмотрим математическое ожидание*периодограмм.
Теорема 5.2.1. Пусть X(t), t = 0> ±1, есть временной pHdcEX(t) = cx, cov{X(t + u), X(t)} = cxx(u), t, и = 0, ±1, ... . Предположим, VLmD
%\схх(и)\<оо, (5.2.5)
и
тогда
Е/й(Ч = (2яГ)-.|[^1^]!/и<«)^
+ (2яГ)-* [?|™^]гсхг) -оо < Я, < оо. (5.2.6)
В случае когда X^O (тос12я), последний член в (5.2.6) исчезающе мал, и мы видим, что EIpx (X) по существу является взвешенным средним интересующего нас спектра мощности с весом, сконцентрированным в окрестности точки X. Переходя к пределу, получаем
Следствие 5.2.1. При выполнении условий теоремы Ix7X (X) есть асимптотически несмещенная оценка fxxft) пРи 0 (тос12я).
Следующая теорема дает асимптотику смещения Ipx(X). Теорема 5.2.2. Пусть выполнены все условия теоремы 5.2.Iw 2|и||<*х(и)1<°°. (5.2.7)
и
тогда
Е/ШхНЬх^ЖЗяГ)-1 [^wY ^ + 0(T-1)- (5.2.8)
Член 0(T'1) равномерен по X.
Заметим, что в том случае, когда X = 2ns/T,'s — целое, S^O (mod Г), второй член в правой части выражений (5.2.6) и (5.2.8) обращается в нуль, что ведет к полезному упрощению резуль-тов. Если рассматривать Ipx (X) только в точках 2ns/T, s — целое,
(T)
s^O (mod Г), то множество периодограмм 1Х-С{Т), х-с(Г*(^)> п0"
Х г Х
строенных по выборочным значениям X(t), t = 0, 1, со средним
сР = Т-1% X(t), (5.2.9)
значительно сокращается ввиду равенства
Л%г>(^)=^>(^) . (5,2.10)
для S^O (modT). Сточки зрения основного определения спектра мощности, использующего ковариационную функцию, инвариантную по отношению к среднему, ограничение рассмотрения lxx(2ns/T) только для целых s, s ф 0 (mod Г), выглядит вполне оправданным. Мы вернемся к этому ниже в теореме 5.2.4.
В § 3.3 и 4.6 мы могли видеть, что временное сглаживание по краям наблюдаемых величин, предшествующее вычислению их преобразования Фурье, дает некоторые преимущества. Вернемся к построению модифицированных периодограмм, соответствующих рядам со сглаженными значениями. Рассмотрим
dP (X) = 2Л (f) X (t) ехр {- iXt) (5.2.11)
для некоторого временного окна h(u), удовлетворяющего условию 4.3.1. В таком случае из теоремы 4.4.2 следует, что распределение величины dp (X) асимптотически равно
(О, 2лТ [lh(tydt}fxx(X))9 (5.2.12)
если ХфО (modя)„ Следовательно, для случая временного сгла-. живания мы можем, рассматривать статистику
=(2^L * (f)2)"1 ?ft (т)х wехр ь ш>
(5.2.13)
в качестве оценки для fxx(k)-
Мы заменили T^/i(^)?^ суммой квадратов значений временного окна, так как последняя легко вычисляется. Положим
H(X)=\h (и) ехр {— iXu) du (5.2.14)
и
#<n (X) = ^h ) ехр {— Ш}.' (5.2.15)
Применим, если это возможно, формулу суммирования Пуассона; тогда последние два выражения связаны соотношением
oo
№Т)(Ц = Т 2 Н(Т[Х + 2л1]), (5.2.16)
/= -00
откуда Н{Т)(Х) имеет значительную величину, только если X== О (mod2tt), что будет существенно для нас при рассмотрении выражения (5.2.17). Справедлива
Теорема 5.2.3. Пусть X(t), t = 0, ±1, — ряд с действительными значениями, удовлетворяющий условиям теоремы 5.2.1, h (у) удовлетворяет условию 4.3.1, a Ip(X) задано выражением (5.2.13). Тогда справедливо соотношение
ElPx(X) = I S|#(n(a)|*da J | #<П (a) ffxx (A,-a) da \-я / -л
+ ^S IЯ<Iя\н{Т)(Ь)\2с\> —со <Х<оо. (5.2.17)
Если X^O (mod2n), то последний член формулы (5.2.17) достаточно мал по величине. Первый "член правой части (5.2.17)
является взвешенным средним с весовой функцией, сконцентрированной "в окрестности, точки X, интересующего нас спектра мощности с учетом относительного веса временного окна. Это выражение полезно сравнить с формулой (5.2.6), соответствующей несглаженному случаю.
Если fxxft) имеет значительный пик в окрестности точки а, то математическое ожидание, задаваемое выражениями (5.2.6) и (5.2.17), может значительно отличаться от fxxft)- Отсюда очевидны преимущества в применении сглаживания, с помощью которого можно уменьшить влияние пика в соседних частотах.
Продолжая исследования статистических свойств периодограмм как оценок спектра мощности, приведем теорему 5.2.4, которая описывает ковариационную структуру IPx (X) в точках 2ns/T, s — целое, для несглаженного случая.
Теорема 5.2.4. Пусть X(t), t = 0, ±1, — действительный случайный ряду удовлетворяющий условию 2.6.2(1). Пусть 1{рх(Х) задано выражением (5.2.3), г, s —целые, г, s г ± s ф. 0(mod T) и [х = 2яг/Т, X = 2ns/T. Тогда
где член 0(T'1), равномерен по всем рассматриваемым X и (х. Заметим, что, согласно условиям теоремы, 1{хх (2лг/Т) =
= 1{рх (2ns/T), если r + s, г — S = О . (mod T), т. е. оценки идентичны.
Эта теорема имеет решающее значение для статистической практики. Из нее следует, что, каким бы большим мы не брали T9 дисперсия Ipx (X) будет стремиться к постоянному уровню fxxft)2-Если мы желаем получить оценку с меньшей дисперсией, то добиться этого простым увеличением длины выборки, по которой строится периодограмма, невозможно. Теорема также вскрывает причины нерегулярности диаграмм 5.2.2 и 5.2.4: а именно, близкие ординаты периодограмм, по всей вероятности, имеют относительно малую ковариацию по сравнению с их дисперсией. Как мы увидим из теоремы 5.2.6, различные ординаты периодограммы асимптотически независимы.,
