Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
4.8.21. Пусть dp (К) = 2 ^ (0 ехР {—*^*}- Покажите, что справедливо
*=0
равенство
Zha(f)х(0ехР{-ш>=7- 2 ж/> (2fs-х)*р (Щ ,
где #аГ) (X) задается формулой (4.3.2).
4.8.22. Пусть X (t), t = 0, Г—1, — последовательнобть независимых нормально распределенных величин с нулевым средним и дисперсией а2. Положим
Т~\
d{P(K)= 2 *(0ехр{-М}.
(а) Покажите, что для таких целых s, что 2ns/T^0 (mod л), величина d{P (2ns/T) имеет распределение Ni (0, Га2). '(b) Найдите распределение величины
(с) Найдите распределение для arg|d^ |*
4.8.23. Пусть X (/), /==0, ±1, есть r-компонентный векторный ряд, удовлетворяющий условию 2.6.1. Пусть функции па(и), — оо < и < оо, удовлетворяют условию 4.3.1. Положим
V -1
d{P(K /)=Ц Ae(-?-)*e(i; + /lOexp{-*MiF + /lO},
где —оо<Х<оо; / = 0, L—1; а=1, г. Покажите, что d^ (X, /) = [da (X, /)], /=0, L—1 являются асимптотически (при V—> оо) независимыми (0, 2яК[HаЪ (0) /дЬ (Х)])-распределенными величинами, если X^=O(mod л) и асимптотически Nr (0, 2яУ [Я^ (0)/а& (Х)])-распределенными величинами, если X= ± л, ± Зл, ....
ч Указание. Этот результат немедленно вытекает из теоремы 4.4.2, если X (/) и ha (и) переопределены надлежащим образом.
4.8.24. Покажите, что если X имеет распределение N^ (О, S) и Аг—э-рми-
г
това rXr-матрица, то ХТАХ распределено как 2 uy (uf + и/), где [I1, ..., u.r —
ч /=1
собственные значения матрицы
Sl/2ASl/2
и M1,*..., иГ1 Vi vr — независимые N (0, ^-распределенные величины.
4.8.25. Пусть X1, Xn-независимые N? (jm, ^-распределенные величины. Покажите, что Д = 2Ху/л и 2 = 2 (Xy-?у) (Xy-Му)т/л являются
/ /
оценками максимального правдоподобия для jui и S [Giri (1965)].
4.8.26. Покажите, что W r (п, 2)-распределенная величина, для которой ImS=O, может быть представлена в виде ~- {W11 + W22 + *'(W12-W2i)}, где
KiИМЄЄТ РаспРеД^ение Wir («, [J J]).
Выведите отсюда, что действительная часть такого комплексного распределения Уишарта имеет распределение — W2 (2«, 2).'
4.8.27. Используя функцию плотности (4.2.9), покажите, что W^ (п, ^-распределенную величину W можно представить как (X-f* Y) (X + t'Y)T, где X, Y —нижние треугольные матрицы, т.е. имеющие одни нули над главной диагональю,4 a Xjk, Y/k> l<*k< j <; г, — независимые N1(O, ^-распределенные величины и Xfj, Yfj — независимые х«-/+і"РаспРеДеленньІе величины.
4.8.28. При тех же условиях, что и в упр. 4.8.25, покажите, что $2 = ^2"1Ji имеет распределение %22r (2«JyI1S-1 \х) xtm-r), где Хгг(о> обозначает нецентральное хи-квадрат распределение с 2г степенями свободы и параметром не-, центральности б, a xlw-n обозначает независимое от него центральное хи-квадрат распределение с 2 (п — г) степенями свободы [Giri (1965)].
4.8.29. Покажите, что при выполнении условий теоремы 4.4.2 предельное распределение (К) не изменится, если опустить любое конечное число величин из ряда X (t).
4.8.30. Пусть W имеет распределение W^ (п, 2). Покажите, что
сип, \Waibv .... Wa^} = «2 {2¦,V•2VpJ '
где суммирование ведется по всем таким перестановкам P множества {1- ..., k], что P не оставляет на месте никакое собственное подмножество множества {Ii k). Покажите также, что число таких перестановок будет (k—\)\,
4.8.31. Пусть W имеет распределение Wr (п, 2). Покажите, что cum \ Waxbv wakbk\
= nS (Sei6n •••2^6» + (2*"1 —О аналогичнцх членов,
получающихся в результате всех замен aj<r-*bj при / = 1, k—lj ,
здесь P — перестановки, описанные в предыдущем упражнении. Покажите, что общее число слагаемых будет равно 2к~1 (k— 1)!.
4.8.32. Пусть W имеет распределение W2 [п, j . Покажите, что функция плотности величины x = Wi2 задается формулой
где Kv — модифицированная функция Бесселя второго- рода v-ro порядка [Pearson и др. (1929), Wishart, Bartlett (1932)].
4.8.33. Пусть W имеет распределение W2 ^n, |~i ^"j
(a) Покажите, .что плотность величины X = W12 (по отношению к Rejc, Im х) задается формулой
яГ(я)'уу"мр1' ЄХР КЄ {ХЫ14 Р Р)Ж""? ('Х 1/(1"'Р т'
(b) Покажите, что плотность величины у = Re HP12 задается формулой і/яГ(п)2"'"'"(Гі-и"-^'є-р {<ч//(1"'р™
xtf«-i/t(|*| VT^pV(i-IpI1)).
где a= Rep, P= Imр.
(c) Покажите, что величина Z=ImWu имеет плотность
vaw*S{^^-«> -і р і2» _
хКп-і/2 (ui Уi—aV(i—ipi3)).
(d) Покажите, что плотность величины <f> = argW12 имеет вид
(1 —ІРІ2)" у 2^\p\^T(n + k/2)T(\+k/2) 1
лГ(л) Г (6+1), с°5 19 ^0''
где <*0==argp.
(e) Покажите, что плотность величины ш=|1Г12| равняется
YJ^z1 /р h P |/(1 -1 P i2)) tf„-i -| P i2)),
где /0—модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка.
Все плотности, приведенные в этом упражнении, получены в работе Goodman (1957).
4.8.34. Пусть X(t)^t = 0, ±1, ...,— стационарная гауссовская последовательность с нулевым средним и спектром мощности fxx(K), — 00 < Я < 00, Покажите, что представление Крамера можно записать в виде
л
X(O= 5 ехр{-Ш)УЩШ(1В^), t = 0, ±1,
-я
где В (Я»), О^Я^я—комплексный процесс броуновского движения, такой, что cov {В (К), В (u.)}=min{A,, и) и В (— X) = B(K).