Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Набор собственных значений матрицы иногда называют спектром. Спектр матрицы, задаваемой формулой (4.7.10), аппроксимируется, как показывает (4.7.11), числами 2nfxx(2ns/(2T + I)), s =— T9 Ту где fxx(X)—спектр мощности ряда X(/),/ = 0, ±1, .... Таким образом, мы сразу же убеждаемся в связи этих двух разных типов спектра.
4.8. Упражнения
4.8.1; Пусть Y = U + iV, векторы UhV имеют совместное нормальное распределение. Пусть также EY = [I и E(Y—[i)(Y — [і)т = 0. Докажите, что компоненты вектора Y независимы, если матрица E (Y — Im)(Y — jm)T диагональна.
4.8.2. Докажите, что если величина Y имеет распределение (0, 2), то распределением AY будет Ns (О, А2АТ) для любой sXr-матрицы А. Выведите отсюда, что если элементы Y представляют собой независимые Ni (0, а2)-рас-пределенные величины и А есть унитарная rXr-матрица, то элементы AY также будут независимыми величинами с распределением Ni (0, а2). Выведите также, что маргинальное распределение многомерного нормального' комплексного распределения является нормальным.
с
4.8.3. Покажите, что если X имеет распределение Nr (ц, S) и Im 2 = 0, то величины Re X и Im X независимы.
4.8.4. Докажите, что если W имеет распределение IW г (п, 2), то Wjj распределено как 2уухім/2.
с
4.8.5. Докажите, что если W имеет распределение Wr (п, 2), то EW = n2. Докажите также, что E (Wjk — riZJk) (Wlm—nllm) =n2jmZlk.
4.8.6. Докажите, что е*сли W имеет распределение Wr (п, 2), где 2— невырожденная матрица, то 2~1/2W2""1/2 будет величиной с распределением W^ (/г, I).
4.8.7. Пусть Y имеет распределение N% (jut, а21) и
YTY = Y1A1Y + .. - + YTA#Y,
где Afc—-эрмитова матрица ранга щ. Докажите, что необходимое и достаточное условие, для того чтобы формы YTA^Y были независимы и имели нецентраль-
ное хи-квадрат распределение a2xLfr (M-V/a2)/2, состоит в том, чтобы M1+.., ...+пк = п [Brillinger (1973)].
4.8.8. Пусть матрица W, имеющая распределение W^s (п, 2), представлена
в виде
W
= [W11W12I
Lw21 W22J'
где W11 и W22 имеют соответственно размеры г Xr и sxs. Допустим также, что 2 представлена аналогичным образом. Докажите, что матрица W22—W21Wu1W12 будет распределена как
Wf(n-r, 222-2^2^2^).
Докажите, что если 212 = 0, то величина W21 Wf11W12 имеет распределение (г, 222) и не зависит от W22-W21Wf11W12.
4.8.9. Пусть Y имеет распределение (О, 2). Докажите, что тіри j Ф k
справедливо равенство"
EYai...YaYbl...Ybk = 0,
а при /=& эта величина равняется
+ +
^djbx • • - ^ajbj
(*)
где (*) обозначает алгебраическое дополнение размера /X/ [Goodman, Dub-man (1969)].
4.8.10. Пусть X(O. t — 0, ±1, ...,— стационарный процесс с конечными моментами, такой, что X (/ + Г) = X (/), t = 0, ±1, для некоторого положительного Т. В таком случае X (t) называется периодическим процессом. Докажите, что
сит{^[>(2д51/Г), ^)(2д5Л/Г)}-0
для целых S1, Sfc, таких, что S1+ ... +sfc ф 0 (mod 2л).
4.8.11. Докажите, что при k > 2 для стационарной гауссовской последовательности X (/), * = 0, ±1, выполняется равенство
CtIm(^)(X1), 4^)}=0.
4.8.12. Пусть X (/), / = 0, ±1, есть векторный г-компонентный белый шум. Обозначим
cum{Xai(0, *a*(0}=*fll...v
Докажите, что если SJ^[X] задается формулой (4.3.13), то
cum
4.8.13. Пусть X(O, f = 0, ±1, есть векторный г-компонентный стационарный ряд, удовлетворяющий условию (4.3.6). Положим Г = min Г/. Пока-
жите; что для величины (К), задаваемой выражением (4.3.13),
cum{#»> (K1), ^(Л*)}
=-(^-^^^/^...^(^ х*.ї) + о(г).
4.8.14. Предположим, что выполнены условия теоремы 4.3.2 и величина HaCk)t определяемая формулой (4.3.3), допускает при некотором конечном К и v>2, а=1, г, оценку
l#e MI<K(i + IM)-v.
Докажите, что тогда
cum
4.8.15. Пусть X(t)t tf = 0, ?1, есть /-^компонентный векторный ряд. Допустим нам известен отрезок наблюдений X(t), t=0, г.., T — 1. Докажите, что &Р (2ns/T), s = Oy Г/2 является достаточной статистикой.
4.8.16. Докажите, что при выполнении условий теоремы 4.6.1 величина Zx(K) непрерывна в среднем порядка v для любого v > 0.
4.8.17. Пусть Y является /-компонентной векторной случайной величиной с ковариационной матрицей 2>yy- Определите, какая линейная комбинация aTY с aTa=l имеет наибольшую дисперсию.
4.8.18. Используя 3.10.15, обобщите рассуждение § 4.7 на случай векторных рядов.
4.8.19. Докажите, что при выполнении условий теоремы 4.4.2 величина
arg l^dp (X)j сходится по распределению при T —> оо к величине, равномерно
распределенной в интервале (0, 2я), если K^O (mod л). Каким будет предельное распределение в случае a = O (mod л)?
4.8.20. Предположим, что выполнены условия теоремы 4.4.2. Допустим также, что функция Ha(K)t определяемая формулой (4.3.3), при некотором конечном /f, v>2 и fl=l, ...,г допускает оценку
\На(К)\^К(1 + \К\у\ Предположим еще, что Kj (T) —> Kj при T —> оо и min T \ Kj (T)-— 2я/1, mm T IKj(T) ± Кк(Т)—2л/1 —^ оо при T оо, 1</ < k<J. Докажите, что тогда к &Р (Kj(T)), / = 1, J1 применимо заключение теоремы 4.4.2.
