Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
cov\dUx(X), dUx(ii)}=±{T\ (X-|i) + 4(X+|i)}Ref«(X)dXd|i,
соу{<Ш*(х), ^(|і)}=4-{л(Я.-|*)—4(^+1*)} Imf«(X)dXd|i,
(4.6.19) (4.6.20)
cov {d\x (X), d\x (|х)} =4 ІЛ (^-1*) - Ч (* + [A)} Ref„ (X) dXd\i.
(4.6.21)
Представление Крамера (4.6.13) можно тогда записать в таком виде:
2л
X(t) = l [cosXtdUx(X) + s'mXtdVx(X)l* t = 0, ±1, .... (4.6.22) о
Преобразование Крамера особенно удобно использовать для того, чтобы понять, каков эффект применения той или иной операции к интересующему нас ряду. Рассмотрим, например, профильтрованный ряд
Y(0 = Sa(/ — M)X(a)f Z = O, ±1, (4.6.23)
и
предполагая, что для ряда X (t) справедливо представление Крамера (4.6.13). Если для функции
a (X) = 2а (и) ехр {—iXu), —оо<Х<оо, (4.6.24)
существует интеграл
2л
S a (X) ixx (X) a (X)* dX<co, (4.6.25)
ТО
Y(o = j ехр{Ш\\(к)с11х(1), Z ==0, ±1, .... (4.6.26) о
В дифференциальной форме последнее соотношение можно записать так:
dZY (X) = A(X)UZx (X), — оо < X < оо. (4.6.27)
В качестве примера применения формулы (4.6.27) отметим, что она вместе с равенством (4.6.9) сразу дает соотношение
f YY (X) = A (X) fxx (X)A (Х)\ (4.6.28)
полученное в § 2.8.
Предположим, что к каждой компоненте ряда X(Z), Z = O, ± 1, . .^, применяется фильтр, пропускающий определенную полосу частот, который имеет передаточную функцию
( 1 при |Х±(о| < А, Л (X)H Л F 1 1 (4.6.29)
4 ' ( О в противном случае
(здесь —Jt < X <; Jt). *
Пусть, далее, преобразование Крамера ряда X(Z) можно записать в виде
л.
X (Z) = S exp{*XZ}dZ*(X). (4.6.30)
-Л
Тогда профильтрованный ряд можно представить следующим образом:
(-ю+Д ю+Д\
Y(0 = | S + S } ехр {Ш} «Zx(A-)
V -со-Д (О-Д/
ехр {Ш\ dZx ((о) + ехр {—Ш) dZx (—со) і 2 [cosO)Z dUx ((о) + sino)Z d\x (со)]; (4.6.31)
подразумевается, что приближенное равенство имеет место при малых А. Результат воздействия фильтра, 'пропускающего указанную полосу частот, состоит в выделении из преобразования Крамера гармонических колебаний, имеющих частоты, близкие к ± со. При малых А ряд Y (Z) иногда называют компонентой частоты о для ряда X (Z) й обозначают как X (Z1 (о), подчеркивая тем самым зависимость от со и игнорируя зависимость от А. Рассмотрим полный набор фильтров с взаимно исключающими полосами пропускания, имеющих следующие передаточные функ-
ции:
іри |'Ь±2/Д|<Д,
( 1 пі
(4.6.32)
противном случае,
/ = 0, 1, / и (2/ +I)A = я. Тогда ряд X(Z), Z = O, ± 1, .....
может быть представлен в виде суммы своих частотных компонент:
j
X(Z)=SX(Z, 2/Д), Z = O, ±1, ... . (4.6.33)
/=о -
В дальнейшем мы увидим, что многие полезные статистические процедуры имеют характер элементарных воздействий на отдельные частотные компоненты изучаемых рядов.
Рассмотрим теперь результат применения преобразования Гильберта к каждой компоненте ряда X(Z), f=0, ±1, ... . Передаточная функция преобразования Гильберта, как мы знаем, задается формулой
A(X) = — fsgnX, —я<Х<я. (4.6.34)
Если преобразование Крамера ряда X(Z) записать в виде
я
X(Z)= j [cosXt(HJx(X) + sinXtd$x(Щ> (4.6.35) то сразу видно, что
я
X(t)H = j [SmMdUx(X)—COsMdVx(K)]. (4.6.36)
-Я
Гармонические колебания в этом представлении изменили фазу на я/2. Для X (Z, со)—компоненты частоты со ряда X (Z)—из равенства (4.6.36) получаем, что
X(Z, со)яі2[sinO)ZdUx(со) — COSG)ZdVx(Co)], (4.6.37) и поэтому .
X(Z,\o) + /X(Z, со)яі2ехр{^}^(со). (4.6.38)
Выражение (4.6.38) позволяет дать другую интерпретацию дифференциала dZx((o), появляющегося в представлении Крамера.
Рассмотрим далее ковариационную матрицу 2г-компонентного векторного ряда
TX(Z, со)] LX(Z, со)"]
Элементарные выкладки показывают, что в случае со ф 0 (mod я)
она имеет вид
[Reixx(со) Im fxx (со) 1
у* / \ ті с / ч 4A = ^H 4Д (4.6.40) [-Imfxx(co)Ref^(o>)J '
и в случае со = О (mod я) будет
Re ^(CO) Im ixx (со)! 2д = 2д (4.6.41)
L-Inif^ И Re f„ (co)J **v; '
Эти соотношения полезны для интерпретации действительной и мнимой частей матрицы спектральной плотности временного ряда.
В качестве другого примера использования представления Крамера рассмотрим, какой вид можно придать с его помощью конечному преобразованию Фурье. Пусть
dx > (X) = YJ1 (т) Х W ехР <4'6'42)
где А(м)—некоторый множитель сходимости. Прямая подстановка показывает, что
2я
(X) = 5 #m (Х-а) dZx (а), (4.6.43)
где
#<г> (X) = ?ft ("f )ех'Р{—ШЬ (4.6.44)
Из проводившегося ранее обсуждения свойств множителей сходимости можно заключить, что при больших T функция Н(Т) (к—а) сконцентрирована 'в окрестности X = a (mod 2я). Следовательно, из формулы (4.6.43) получаем, что при больших T функция й{р (X) несущественно отличается от dZx(k). В заключение отметим также, что формулы (4.6.8) и (4.6.43) влекут за собой точное равенство
CUm(^(X1), d™(kk))
2я 2я
= 5 ... J ^)(X1-CX1) ... Я^)(ХЛ-а,)г,(а1+...+а,)
Х/ві...?іЛ(аі. . -ak-i)dai- --dak. (4.6.45)
