Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Y (Z) = f [X (Z), X(Z-I)], (2.9.12)
где f [X1, X2] — некоторая измеримая функция [Rosenblatt (1964)1. В действительности всем стационарным функциям можно придать форму выражения (2.9.12), если применять также функции f от бесконечного числа' аргументов. Любой стационарный ряд может быть записан в виде
Y(Z) = f (и*в)9 (2.9.13)
где U — сохраняющее меру преобразование и 6 —точка вероятностного пространства [Doob (1953)]. Часто можно считать 6 точкой единичного интервала [Choksi (1966)].
К сожалению, работать с соотношениями типа (2.9.12) и (2.9.13) в общем случае не легко. В надежде получить более обозримые результаты некоторые исследователи [Wiener (1958), Balakrishnan (1964), Ширяев (1960), McShane (1963), Meecham, Siegel (1964)] перешли к рассмотрению рядов, порожденных нелинейными преобразованиями вида
У (O = 2 O1 (Z - U1) X (U1) + XZaAt-Uu t- U2) X (U1) X (и2)
U1 * U1 U2
+ SSS Os *—«і. t—UjX(U1)X(U1)X(U,)+.... (2.9.14)
U1 U2 U3
Nisio (1960, 1961) исследовал Y (Z) указанного выше вида в случае, когда X(Z) —белый гауссовский шум. Meecham (1969) рассматривал случай, когда Y (Z) является почти гауссовским процессом.
Будем ссылаться на выражение вида.(2.9.14) как на функциональное разложение Вольтерра [Volterra (1959), Brillinger (1970а)].
В связи с рассмотрением соотношения (2.9.14) приведем следующую теорему.
Теорема 2.9.1. Если ряд X(t)9 Z = O, ±1, ..., удовлетворяет условию 2.6.1 и
L
^(O= S S aj(t-Ui9 ...9 (-Uj)X(U1)... X(Uj)9 (2.9.15)
J = O U1, Uj
где aj—абсолютно суммируемы и L<oo, то ряд Y (t)9 Z = O, ±1, также удовлетворяет условию 2.6.1."
Мы видим, например, что "ряд X(t)J9 Z = O, ±1, удовлетворяет условию 2.6.1, когда этому условию удовлетворяет X(t). Теорема обобщается на r-компонентные ряды и в таком виде является обобщением леммы 2.7.3.
Пример 2.9.9 (решения стохастических разнбстных и дифференциальных уравнений). Ограничимся ссылками на литературу, посвященную стационарным процессам, которые удовлетворяют стохастическим разностным и дифференциальным уравнениям, см., например, Kampe de Feriet (1965), Ito, Nisio (1964), Мог-tensen (1969).
В некоторых случаях [ltd, Nisio (1964)] решение стохастических уравнений может быть выражено в форме (2.9.14).
Пример 2.9.10 (решение функциональных соотношений Вольтерра). В ряде задач нам может быть известен ряд Y (t) и требуется определить X(t) как ряд, удовлетворяющий соотношению (2.9.14). При решении мы столкнемся с явлением, обратным к умножению-частот, и с появлением гармоник низших порядков.
2.10. Примеры кумулянтного спектра
В этом параграфе приводятся примеры кумулянтного спектра порядка k для r-компонентных стационарных временных рядов.
Пример 2.10.1 (белый шум). Предположим, что 8 (Z)— белый шум с компонентами 8fl(Z), a= X9 г, и пусть существует
Ka1, ....вЛ= CUm {Sa1(Z), S^(Z)}.
2.10. Примеры кумулянтного спектра
47
ТоГДа Сйи ...tak(U19 ' * •» Uk-l) = Kat.....afi {U1) . . . 6{^1}, ГДЄ б (#)—
дельта-функция Кронекера. Непосредственно видно, что
Uu.r.ak(K ..•. ^*) = (2«J^ + 1Ke1.....(2.10.1)
Пример 2.10.2 (линейный процесс). Допустим, что
oo
X(O= 2 а (/-и) в (и), (2.10.2)
W= - со
где {a (Z)} — sxr-фильтр и e(Z)—r-компонентный белый шум. Из теоремы 2.8.1 вытекает, что
fat,...,ak(\> • •> К)
= (2я)-*+1 S^-ZS^ajt^)... Aa1Jb(K)Kh..... fk- (2.10.3)
Результаты этого и предыдущего примеров могут быть использованы для получения спектров процессов скользящего среднего и авторегрессии.
Пример 2.10.3 (стационарный гауссовский ряд). Характеристическая функция многомерной гауссовской величины с вектором математического ожидания jui и ковариационной матрицей S задается формулой
ехр jtjiTt— ytTSt|. (2.10.4)
Отсюда следует, что для гауссовских рядов все кумулянтные функции порядка выше 2 равны нулю, поэтому все кумулянтные спектры порядка выше 2 также обращаются в нуль.
Мы видим, что кумулянтные спектры порядка выше 2 представляют в некотором смысле меру негауссовости ряда.
Пример 2.10.4 (косинусоида). Пусть X (Z) — векторный процесс с компонентами Xa(t) = Racos((oat + ца)9 a= I9 г, где Ra — постоянные, O)1+ ... +сог = 0 (mod 2л); фх, угтт1 независимы, равномерно распределены в промежутке (—я, я] и выполнено условие Cp1+ ... +фг = 0 (mod2jt). Тогда X(Z) —стационарный процесс. Заметим, что элементы любого истинного подмножества множества Cp1, фг независимы в совокупности и, следовательно, совместные кумулянты набора таких величин обращаются в нуль. Таким образом,
cum {X1 (Z1}, ..., Xr (tr)\ = E {X1 (Z1) х ... X Xr (tr)\
= /?х ... ^COS(O)1Z1+... +(ortr)2~r+K (2.10.5)
Эта функция зависит от Z1 — tr9 ..., Z7^1— tr9 поскольку G)1+ ... ... + сог ===0 (mod 2л). Далее,
^1,..., г ("і. Ur-i) = Ri • • • #г COS ((O1H1 + . . . +©,..^.!)2-^
(2.10.6)
и потому
fі.....г (А*. • •. .4) = і *i • • • *г ^ <** + • • • ч (Vi + ®г-ї)"
+ Ti(X1 —CD1) ... T](Vi-O)^1)]; (2.10.7)
здесь ті (А,), определяется формулой (2.1.6), см. также упр. 2.13.33.
