Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Приведенное доказательство является аналогом рассуждений Okamoto, Kanazawa (1968), относящихся к действительному случаю.
Доказательство теоремы 9.2.4. Справедливы следующие разложения в ряд Тейлора:
(i/ = H-/ + Vj{S„-S*x}Vy + ..., (*)
V7=-Vy+ S Pn-SnIVjV^-I.,} + .... (**)
См. Wilkinson (1965, стр. 68).
Убедившись, что величина **хх асимптотически нормальна со средним и
А/ллг IV V I ^fllbl^afla
cov{s<w 2M.} =-п-t
приходим к полезному результату упр. 4.8.3(b):
cov {aTSp,vTS8} = 2вів>ЬЛ---
_ (aTSxxV)(ftTSxxP)
для векторов a, p, v, 8, имеющих г компонент. Пользуясь этими выражениями, выводим формулы для асимптотических моментов из (*) и (**). Например,
™v{V;, V,}_
= 22 (VJ2„Ve) (vp5„Vy) V1VbZ[OAy - Ji1) - |іJ]M + ...,
І ф j т Ф k
= S S (VFSxifV*) (УЗДУ, V^[Uv -Ji1)Oi4- |і J]/n+... .
Отсюда получаем требуемые выражения для ковариации, поскольку собственные векторы V7- удовлетворяют соотношениям
V -/ ^ при р = <?'
vP*"va-\ 0 при рфд.
Свойство асимптотической нормальности вытекает из асимптотической нормальности 2.^ и из теоремы Д5.2.
Доказательство теоремы 9.3.1. Можно переписать (9.3.3) в виде
|[^~^~(Sc(i/)^c^TJcx~^--f2c(w)j c;j j,
+ S tr {[I - A (a)] f „ (a) [I-A (a)]* da,
где A (a) = C (a) B (a). Первое слагаемое можно обратить в 0, выбрав 1* = ?- (2с(и))с; = с?-^2с(и)) (и)) с*.
Второе же слагаемое будет минимальным, если минимален при каждом а след
tr {[f„ (a)*/* - A (a) f„ (a)*/« ] [l„ (a)i/« - A (a) f„ (a)^f},
здесь A (a) —матрица ранга не выше Теорема 3.7.4 показывает, что следует взять
A(X)=SV7(X)VT(T)S
/=і у '
где Vy(X) есть /-й собственный вектор матрицы f** (X) 1^, а тем самым и собственный вектор матрицы fxx (X)1/2 .Теперь ясно, что при указанном выборе B(X) и C(X) действительно достигается минимум.
Доказательство теоремы 9.3.2. Мы получим утверждение, рассмотрев выражение кросс-спектра (t) и ?>k(t):
- [ р,(Х) при j = k,
!„(4V1W-J^i' ;ри^,.
Доказательство теоремы 9.3.3. Поскольку при любом X матрица ixx (X) имеет простые собственные значения, то, согласно результатам упр. 3.10.19—3.10.21, эти собственные значения и соответствующие собственные векторы будут голоморфными (в действительном смысле) функциями матричных элементов.
Выражения (9.3.29) и (9.3.30) мы получим, сославшись на теорему 3.8.3. Из этих выражений, в свою очередь, выводим (9.3.31) и (9.3.32), привлекая (9.3.28).
Доказательство теоремы 9.3.4. Искомая величина Bx (X) должна быть некоторой линейной комбинацией строк V^(X)T, k=l9 пусть это будет
В/ (X) = Gn (X)VT(X)* + ... + Gir (X) v7Tx)T.
Нужный нам ряд должен быть ортогонален ?>k(t), &< /, поэтому при k< j все GJk (X) = O. "Дисперсия величин (9.3.33) может быть
представлена в виде
2 Gjk (X) \2\ik (Я),
где 21 (Я) j2= 1. Очевидно, что эта дисперсия максимальна,
если
0 при 1фк9
что и требовалось показать.
Доказательство теоремы 9.3.5. Матрица спектральной плотности ряда (9.3.35) задается выражением
[1-А(Х)]ЇХХ(Х)[І-А(Х)]\
в котором А (Я) = С (Я) В (Я). Теорема 9.2.3 показывает, что собственные значения минимальны при упомянутом в формулировке утверждения выборе В (Я) и С (Я).
Доказательство теоремы 9.4.1. По теореме* Виланда—Хофф-мана [Wilkinson (1965)],
, 2Я 2
fjP (X)-Iw^ (1-а) f/k(a)da .
2||if(*)-vf (Я)«|< s
/=1 j, k=\
Кроме того, из теорем 7.4.1 и 7.4.3 следует, что
2л
f}P (K)-I W«> (K-a)f/k(a)da
= 0 (Bf1T-I),
и так как
IE[Hf(X)-Vf (Л)]|»<ЕК>
T
С E
^f W~vf (Я)]* SjHf W-vf (Л)|«],
то получается выражение (9.4.5).
Выражения (9.4.6) и (9.4.7) выводим из-разложений в ряд Тейлора, употреблявшихся при доказательстве теоремы 9.2.4:
IXfW = Vf(X)
+ щЩх № W - SW<T) (*-«) («) <4 uf (Л) +..., vf W = Uf (Я)
+ 2.[0FW i ifx (Я) - J (Я-а) fxx (а) da) Uf (Я) j X Uf W/{vf (Я) — vf (Я)} -J-.....
Доказательство теоремы 9.4.2. Формулы (9.4.13) и (9.4.14) получаем из выражений, использованных при доказательстве теоремы 9.2.4:
vf 4X)=Py (X)+V^jj W<T>(X-a) f„(a)<fa - ixx (X) j V7(X)+..., + S f>ШТ ( S ^ (*—*) («) Аь-ін (X)} V7 (X)
XV1(X)Z^(X)-IH(X)}+.:.,
привлекая результат (7,4.13), который при рассматриваемых условиях имеет вид
[ W(T)Ck — a) ixx (a) da = о • .
= hx (X) +? B2r jaV (a) da + O (B3r).
Доказательство теоремы 9.4.3 получается, если применить рассуждения теоремы 9.2.4 и выражения, выписанные при доказательстве теоремы 9.4Л.
Доказательство теоремы 9.4.4. Собственные значения и собственные векторы матрицы являются непрерывными функциями ее элементов. Следовательно, наша теорема вытекает из теорем 7.3.3 и Д5.1.
К главе 10
Доказательство теоремы 10.2.1. Пусть A = CB. Перепишем. (10.2.5):
[(іу— її — Aiix]T Г-1 [iiy—її — AiIx]
+ tr {Г-* (Sn,- AZXY-ZYXA* + А2ХХА*)}
>tr }Г-і (S„-S„SxlxSjry)}
+ tr {Г-*/* (2„ - А2„) (Z7x-А2ХХ) Г-»/»}.
Согласно теореме 3.7.4, это выражение минимально, если Г-1/»А2# = S V/V/r-i/^„ZiVe
ИЛИ