Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Х(0 = 2а(*-и)е(и), , (2.9.1)
и
где {а(а)} —суммируемый sxr-фильтр. Согласно лемме 2.7.3, этот s-компонентный ряд является стационарным.
Если лишь конечное число членов а (и) в выражении (2.9.1) отлично от нуля, то ряд X (Z) называется процессом скользящего среднего. Говорят, что процесс имеет порядок т, когда а(0), а (т)Ф 0 и а (и) = 0 для и>т и и<0.
Пример 2.9.3 (косинусоида). Предположим, что X(Z) —векторный ряд с компонентами
Xj (Z) = Rf cos (со/ +фу), / = 1, ...,г, (2.9.2)
где R19 ..., #г —постоянные, а Фх, Фг_х — равномерно распределенные в интервале (—я, я) случайные величины, такие, что Ф!+...+Фг = 0. Тогда этот ряд стационарен, поскольку его конечномерные распределения инвариантны относительно временных сдвигов.
Пример 2.9.4 (стационарный гауссовский ряд). Ряд X(Z), Z = O, ±1, ±2, ... называется гауссовским, если все его конечномерные распределения являются гауссовскими (нормальными). В случае когда EX(Z) = jli,h EX (Z) X (и)х = R (Z- и) для всех Z, и, ряд X(Z) стационарен и полностью определяется свойствами моментов первого и второго порядков.
Заметим, что если X (Z) —стационарный r-компонентный век-' торный гауссовский ряд, то
Y (Z) = 2 а (t-u) X (и) (2.9.3)
и
для любого sxr-фильтра {a(Z)} образует s-компонентный стационарный гауссовский ряд.
Подробное рассл^отрение стационарных гауссовских рядов содержится в книгах: Bl^nc-Lapierre, Fortet .(1965), Loeve (1963), Cramer, Leadbetter (1967).
Пример 2.9.5 (стационарные марковские процессы)-. Ряд X(Z), Z = O, ±1, ±2, ... сг компонентами называется г-ком-понентным марковским процессом, если условные вероятности
P {X (Z)< XIX(S1) = X1, X(sn) = xn, X(S)=X} (2.9.4)
для любых S1 < S2 <... < Sn < s равны следующим условным вероятностям:
P {X (Z)< XI X (s) = х} = P (s, х, "Z, X), s < Z. (2.9.5)
Функция P (s9 х9 Z, X) называется функцией переходной вероятности. Она и начальное распределение P {X (O)^x0} полностью определяют вероятностную структуру процесса. Марковские процессы и, в частности, стационарные марковские процессы исследуются в книгах: Doob (1953), Дынкин (1963), Loeve (1963), Feller (1966).
Важный пример представляет гауссовский стационарный марковский процесс. Когда этот процесс принимает действительные значения, его автоковариационная функция очень просто описывается.
Лемма 2.9.1. Автоковариационная функция невырожденного гауссовского марковского стационарного процесса X(t), Z = O, ±1, ±2, ..., принимающего действительные значения, имеет вид Схх(0)р]и] для некоторого р из интервала (—1, 1).
Другой класс примеров действительных стационарных марковских процессов дает Wong (1963). Бернщтейн (1932) рассматривал марковские процессы, возникающие при решении стохастических разностных и дифференциальных уравнений.
Примером стационарного марковского процесса X (Z) с г компонентами служит решение уравнения
где e(Z) — /--компонентный белый шум и а является /-X/--матрицей, все собственные значения которой по модулю меньше единицы.
Пример 2.9.6 (схема авторегрессии). Уравнение (2.9.6) наводит на мысль рассмотреть r-компонентные процессы X(Z), удовлетворяющие' более общим условиям вида
X(Z) + a(l)X(Z-l) + ... + a(m)X(Z-m) = e(Z), (2.9.7)
где e(Z) — r-компонентный вектор белого шума и а(1), ..., а(т) — матрицы порядка гх г. Если корни уравнения Det A (z) = 0 лежат вне единичного круга, а
то можно показать (см. § 3.8), что (2.9,7) имеет стационарное решение. Такое решение X (Z) называется r-компонентным авто-регрессионным процессом порядка т.
Пример 2.9.7 (смешанная схема скользящего среднего-и* авторегрессии). Иногда мы будем комбинировать схемы скользящего среднего и авторегрессии. Рассмотрим r-компонентный векторный процесс X(Z), удовлетворяющий уравнению
X())+ а(I)X (Z-I)+ ... + a (m) X (Z-т) =
= 8(Z) + b(l)8(Z-l)+...+b(tt)e(Z-tt), (2.9.9)
где 8(Z) — s-компонентный белый шум;а(/), /=1, т, b(k), k=l9 п,—соответственно г X г- и rxs-матрицы. Если существует стационарный процесс X(Z), удовлетворяющий уравнению (2.8.9), то он называется смешанным процессом скользящего среднего и авторегрессии порядка (т, п). Если корни уравнения
X(Z) = aX(Z-l) + e(Z),
(2.9.6)
A(z) = I+a(l)z+ ... +а(т)гт,
(2.9.8)
Det [l+a(l)z+... +a(m) z*»] = 0
(2.9.10)
лежат вне единичного круга, то X(Z), удовлетворяющий (2.9.9), представляет собой линейный процесс
QO
X(Z)= 2c(Z — U)B(U)9 (2.9.11)
W=O
где C(X) = A(X)-1B(X)) см. § 3.8.
Пример 2.9.8 (функции от стационарного процесса). Располагая стационарным рядом (таким, например, как белый шум), мы можем рассмотреть инвариантные во времени функции от этого процесса и в результате получить другой стационарный ряд. Например, допустим, что X (Z) —стационарный ряд и Y(Z) = =2 a (Z- и)Х(и)9 где {а(а)}— некоторый sxr-фильтр. Мы уже
и
видели (лемма 2.7.1), что при условиях регулярности Y(Z) также будет стационарным рядом. С другой стороны, можно рассматривать Y(Z), полученные с помощью нелинейных функций, скажем,
