Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
7.10.22(a),
+ ті ) (-^) + 0 (T-).
С учетом того факта, что для (2nr/T)— X = O(T-1)
/«»(^)=^(*)+0(71"1). -
это дает (7.3.13) в случае X^ 0 (mod я), поскольку 2т + 1 членов оценок одинаковы, в то время как другие члены имеют ко-вариацию 0(T'1). Обратимся к случаю X= 0(mod я). Из упр. 7.10.22(b) и того факта, что т членов одинаковы, следует, что ковариация имеет вид
Л (Ь-Р) (Za102 (X) fbib2 (-X)+/аА (X) /Ма (-Х))/(2т), и, как нетрудно проверить, это приводит к (7.3.13).
Доказательство теоремы 7.3.3. Эта теорема непосредственно вытекает из теоремы 7.2.4 и теоремы Д5.1.
Доказательство теоремы 7.3.4 вытекает непосредственно из теоремы 7.2.1 и ее следствия.
Доказательство теоремы 7.3.5. Псевдосглаживающие множители
( ha(u—l) для /<и</+1, па(и, /) = < л а ' { 0 в противном случае,
обладают для /, т = 0, L—1 следующим свойством:
Hab (X) і если / = т, если 1фт.
2Х(-?. і)к(у, т)ехр{-/а} = {^
Далее, основное выражение в доказательстве теоремы 7.2.2 при подходящем изменении определений показывает, что
cow {IZl1 (К /), IZl (К т)) = _
' hZI (О)-1 hZI (Q)-1IhZI И) HZl (*-!*) /«,«. W /м. (-*)
(Л+ц) Я$2 (A. + I*) /ел (X) /»,«, + О (T-»),
если / = т,
0(K-1), если /=?т.
Это приводит к (7.3.18).
Доказательство теоремы 7.3.6 вытекает непосредственно из теоремы 7.2.5 и теоремы Д5.1.
Доказательство теоремы 7АЛ. По теореме 7.2.1 для S=I9 ..., 7" — 1 выполняется соотношение
Е/?>(|-5) = (2ЯГ)-* j
-Л
Это дает первое выражение в (7.4.9). Приступая к доказательству второго равенства, заметим, что правая часть приведенного выше соотношения имеет вид
? (\-ЩсаЬ (и) ехр \-i2nsulT) = U (2-^) +0(1),
и=-Т+\ 4 7 Х '
где в силу упр. 1.7.10 член о(1) равномерен по s. Пользуясь этим, мы получим
е/?> <х> = 2 WS^ (х-Щ и (Щ (s (*-т-в)}"+° (1)
Г-1
ЧаЬ (X)+ f- 1>?>(Х-^) {/а6(2^) -/e6 (X)} +0(1).
Второй член в правой части может быть сделан сколь угодно малым с помощью разбиения области суммирования на сегмент, где |(2я5/7)-Х|<6 и потому \fab(2ns/T)-fab (Х)\ < є, и его дополнение, на котором ^W(T) (k — (2ns/T)) стремится к нулю и \fab(2ns/T) — fab(X)\ ограничена. Это завершает доказательство (7.4.9).
Для соотношения (7.4.11) по теореме 4.3.2 имеем
ы$(2-г)=и(Щ+о(т-% s=l, ...,Г-1,
с равномерным по s остаточным членом. Это дает первую часть (7.4.11). Вторая следует из леммы Д5.1.
Доказательство теоремы 7.4.2 получается с помощью разложения fab(k — ВТы) как функции а в ряд Тейлора.
.іпг(ЇЇ!-«)/2 -№-«)/» J
fab (а) ^а.
Доказательство теоремы 7А.З. Из выражения (7.2.14) следует, что для г, s=l, Г—1
с равномерным по г и s остаточным членом. Это приводит к соотношению
дающему первое выражение в (7.4.15); второе вытекает из леммы Д5.1.
Доказательство следствия 7.4.3 получается непосредственно из последней части соотношения (7.4.15).
Доказательство теоремы 7.4.4. Нами уже изучалось асимптотическое поведение первых и вторых моментов оценок. Для того чтобы доказать асимптотическую совместную нормальность, остается показать, что в указанных условиях все нормированные совместные семиинварианты порядка выше второго стремятся к 0 при Г—>оо.
Мы имеем
cum {^WZl (X1 - 2TiSjT) 1{аТХ (2ns JT)9 ...
. ¦., 2 (XK-2nsK/T) /? (2nsK/T)\
=2---2 wal (К -^SJT)... WfyK(Хк-2nsK/T) (2nT)-« X cum {4P (2nsJT) dff (—2nsJT), ...
..., &{PK (2nsKlT) (-2nsKlT)\. (*)
Положим Г?і, = 5Л, rk2 = —sk9 k=\9 ..., К- Кроме того, опустим нижние индексы а19 аК9 Ь19 ЪК9 не играющие существенной роли. Из теорем 2.3.2 и 4.3.2 следует, что семиин-
/2л (s— r)\ f /2jis\ с / 2ns\ + Л } (Щ /м. (- T-5) + О (T-1)
+(T1T Zn1I (^-2-г) <ф+?) (?)
варианты в последнем соотношении задаются выражением S [(2я)«.-і Д<г> (2я Д Fj1JT) I (2ягу,/Г; Jk Є v1) + о (T)J ...
... J^n)1V1 Д<г> ^2я_J] Vr)/(2jtV7^; /*€ V + о(T)J ,
где суммирование производится по всем неразложимым разбиениям V — {V1, ..., VjJ таблицы
11 12 21 22
Kl К2
а Ш/ обозначают число элементов в v2-. Семиинвариант (*) принимает теперь вид
2 -. -2 W(T) (li -2^/71)... 1ГГ> [%K~2nsKlT)
х2Д(ГЧ2я 2 rjklT\.:Л^(2п 2 rjklT\o{TP-4).
V \ //JeV1 J \ jkevq J
Наличие функций А(Г) приводит к q линейным ограничениям, если q<K, и к q—1, если q = K. Это количество мы запишем как q — [qlK\ (Здесь [ ] обозначает целую часть.) Таким образом, семиинвариант (*) имеет порядок
max (ВтУ-Мк*ТК-ч+МЪТ*о(ТР-9) ^BfK+1T*+1.
q<P<K
Поэтому
cum {(BrT)^ fiaTl)bl(±h)> (ВтТу'Ч$к(±Ьк)}
имеет порядок 5гК/2+1Т~к/2+1 и стремится к О при Т-*оо для К > 2. Нужный результат вытекает теперь из леммы Д4.5.
Доказательство теоремы 7.6.1. Из теоремы 4.3.1 для S = I9 ..., T — 1 следует соотношение
E/&(f)=/ab(f )+0(1)
с равномерным по s остаточным членом. Это сразу приводит к первому выражению в (7.6.6); второе получается по лемме Д5.1.
Далее, из теоремы 4.3.2 следуют соотношения cov Л1(Ак)}
- Z^ (^)ЛЙ(^) { [2яД<" (ц^)/аіаг(^)+0(г)]
