Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
что приводит к нужному результату, поскольку
(2я)-> ? ^„(^)ехр{-шМ = ^^^^ + 0(Т^Р).
|и |< г
Доказательство теоремы 5.8.2. Первое из соотношений в (5.8.18) следует непосредственно из определения fxx (X) и соотношения (5.8.9). Второе соотношение получается из первого, если пренебречь всеми членами, кроме первого, и применить лемму Д5.1.
Доказательство следствия 5.8.2 получается подстановкой разложения Тейлора
р-1 р
fxx (*-«) - fxx W + E -^T- № W + 0 (Iа \Р)
во второе соотношение из (5.8.18).
Доказательство теоремы 5.9.1. Ниже мы будем писать X' вместо X—с{р. Имеем
г-1 2я
Y- ? WW ^)/&(^) —S W^(X-a)I(px, (a) da
Sal ^ ' ^ ' О
7-1 2n[s+l]/7
s = 1 2ns/T I \ / \ / і
2я/Г
+ J IF(H(^—a)/JT)x, (а) da о
==Hj{[r(7) (Х—^)-WW(Х-а)^ ИРХ(Щ
S
+-у<г>(Х_а) [/5^(??)-/?. («)]}*»
2Я/Г
+ J В7<Г)(Л—a) IWx, (a) da. о
Нужный результат мы получим теперь следующим образом: Е/&(^) =/^(^)+0(7-),
Г- 1
? 3 sup W<г> (X-a) ^a = O(Bf1),
_10-гтг. отґ i « і 1 i \ '
S = 1 2ЯБ ^ 23Х I S + 1 I
E[/^(^)-/^(a)]=0(T-») для
2я|?-НМ 2ji|s+1 I
что дает E
< 2я(8+1)
и, наконец,
EIpx^a) = O(T"1) для 0<a<2ns/7\
Доказательство теоремы 5.9.2 получается непосредственно из теоремы 5.3.1.
Доказательство теоремы 5.10.1. Как следует из теоремы 5.2.2, для целых s, s^O (mod T),
e/&(^)=-/™(t-s)+o(t-i).
Это дает первую часть (5.10.12). Вторая часть следует из леммы Д5.1.
Далее, по теореме 4.3.2 cov {/о (Ak)}
7-1T-1
= (^)2Еі:^(^)лй(^)(2яТ)-?
XCOv^-(V)I1. И?)|'}
-Т-2?Лу (^)Л. (^) { [2яА<л (H^±?l)/^(^)+O(I)]
X [2яА<п (5Ы^=Й) ;„ (^1) + о (1)] + [2яД(г, (SiI^) ,„(^)+0(I)] х[2пД(Г) (SbJ=?±?l) /и (^L) + 0(1)] + (2^W(^,^, -^) + 0(1)}
= (^)2|//(2я-^)Ц^)/^(^)2
7- 1
S=I
/ 2л \ Sr1 А ( 2кг \ A (2ns\ S ( 2nr 2ns 2пг \
{ T ) 2-2-лЛ~УAk[T)IXXXX {—> т> —г) + 0(T-2), что дает соотношение (5.10.13).
Обратимся к семиинвариантам высших порядков. Мы имеем
t- 1 Г-1
= (щ)1 E • • • E Аи [щ. ¦ ¦ a1l(2щ (2nT)~L xcum{|^>(4^)|a, ...,|d<n(^)|^
=T~2L E • • • E Ai* (•^r1) • • • a'l (2-^) E [W'-w
x(?E±e/)fr-"*(^ /€^) + 0(1)]...
где внутренняя сумма распространена на все неразложимые разбиения таблицы
Принимая во внимание линейные ограничения, введенные для функций Л(Г\ мы видим, что главный член этого семиинварианта имеет порядок T~L + 1.
Рассматривая теперь переменные T1^y (П (Л^), / = 1, ..., У, мы видим, что все их совместные семиинварианты, порядок которых выше 2, стремятся к 0. Это означает, что указанные переменные асимптотически нормальны.
Доказательство теоремы 5.10.2 проводится так же, как и доказательство теоремы 5.9.1.
Доказательство теоремы 5.11.1. Чтобы избежать громоздких алгебраических выкладок, проведем доказательство только в случае / = 1. Общий случай рассматривается аналогичным образом.
Моделью здесь является
Х(*) = вф(о + е(*),
квадратов такова:
е( Т) = 2'х (t) ф (о / 2J1 ф (О2 = в+2 е (о ф (t)l2 ф (/)2
/ = о W = O
и оценка наименьших квадратов такова:
Г-1
Поскольку Ее (t) = О, из последнего выражения видим, что Е0(7,) = 0. Кроме того,
d {2 * (О ф (/)} = 2 2 (J1 - *.) ф (z1) ф (<,)
7-1 7-| и I
= 2 Сев (И) S Ф(* + И)Ф(0-
ы=-7+1 * = 0
Как следует из критерия сходимости ограниченной последовательности,
Nf 1d {2 е (О ф (0} — 2 (а) т0Ф(а) = 2л J /ее (a) d g*(а).
и
В то же время
ЛГг-і2Ф(0в-+т* (0),
поэтому
2я С /ю (а) <Ю„ (а)
как и указано в (5.11.20). Для случая семиинвариантов высших порядков видим, что
cum^ {2 в (0 ф (0} = 2. • - 2*в...в(*і-*і. - - -, *і-і-*і)Ф(*і). - .Ф(У
7-1 7-І
= 2 ••• 2 °г...г (W1, •••> #L-i) w1= -7 + 1 ul-\- - r +1
согласно второму из условий 5.11.1. Отсюда вытекает, что для L>2
CUmx \NT^T)) = NLTI% cum {JJe (/) Ф (0/2* W2} = O(iV^a+1-L)^0
при T—+00, поэтому, как и утверждает теорема, Э(Г) асимптотически нормальна.
Рассмотрим теперь статистическое поведение f?} (X). Поскольку
4Г> (X) = (0^)-0) 4Т) (X) + diT) (X),
имеем
№ (X) = (0<г> - 0)2 /J? (Я) + (Є™ - 0) (Я) + (Є^-0)/^ (Я) + /<8Г) (X).
Далее, для некоторых конечных M и M'
(Я) | < MBf1T-8 ?
\Т J
= MBt1T-^T 2 Ф (О2 < M1BfT-1N
г»
в то время как для некоторого конечного W
е|#? (А)|2<Г-4??|№(Г> (я—(Х—Щ
x4r)(^f)4r) (?!)
х|2яГт,{*1<р>}/е8 (^)+0(1)
Таким образом,
Е|/Й?(Л.)|< N1T-1Bf1N1^
для некоторого конечного N', поэтому
ЕПГ (l) = Efg^ (X +O (Bf1T-*),
что с учетом теоремы 5.6.1 дает (5.11.21). Из этих неравенств следует также соотношение
(ВТТУ* & (X) = (BTT)W fg> (X)+ 0р (1),
показывающее, что асимптотическое распределение ДР (Ji), такое же,- как и полученное в теореме 5.6.3 распределение }$(%). (Обозначение ор(\) введено для величины, стремящейся к О по вероятности.)
Асимптотическая независимость 0(Г) и ДР(ЯХ), Др (Kk) получается из рассмотрения совместных асимптотических семиинвариантов.
К главе 6