Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бриллинджер Д.Р. -> "Временные ряды. Обработка данных и теория." -> 125

Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.

Бриллинджер Д.Р. Временные ряды. Обработка данных и теория.: Монография. Перевод с английского.. Под редакцией А.Н. Колмогорова — М.: Мир, 1980. — 536 c.
Скачать (прямая ссылка): 1980brillindzher_d_vremennye_ryady_obrabotka_dannyh_i_teoriya.djvu
Предыдущая << 1 .. 119 120 121 122 123 124 < 125 > 126 127 128 129 130 131 .. 163 >> Следующая


Поскольку a^.(w) абсолютно суммируемы, из теоремы Фубини вытекает абсолютная суммируемость ряда ayV..у ^1).

Следовательно,

S-.. S I«/г.../*— а^.....— --/*("і.....^л-і)|<°°-

Оправдано будет и изменение порядка усреднения и суммирования, позволяющее перейти от (*) к (**). Теперь функция dbl...bk(vly .. представима как сумма сверток абсолютно

суммируемых функций, а потому сама абсолютно суммируема. Значит, ряд Y (t) удовлетворяет условию2.6.1. Выражение (2.8.1) мы получим, применив преобразование Фурье к кумулянтной функции ряда Y (t) и воспользовавшись при этом тем, что рассматривается сумма сверток.

Доказательство леммы 2.9.1. Если X (t) —марковский гауссов-ский ряд, то X (s + t) — E{X (s + t)\X(s)}9 t>0, s>0, не зависит отХ (0). Поэтому cov {X (0), [X (s+t)—E{X (s + t)\X (s)}]}=°> а так как Е{Х ($ + t)\X (s)\ = K + X(s)cxx(t)/cxx(0), где К — константа, то

cXx(s + t) = Cxx^is) при s,*>0.

Это показывает, что

Cxx(t) = cxx(0)[cxx(\)/cxx(0)Y при *>0.

Для завершения доказательства остается заметить, что cxx(t)=* = схх (-1).

Доказательство теоремы 2.9.1. Начнем с того, что при сделанных предположениях Y (t) существует с вероятностью 1, так как

2I aS-Щ) |Е I X(U1) I +2 2I а2 (t-ul9t-u2) \ E | ХЦиг)Х(и9)\+ ...

U1 Ut U9

< E IX (t) I SI <Н (U1) I + EIX (О I8 Sl а2 («і. U2) | + . . . < оо.

Рассмотрим далее

cum

{Y (/<), ..., Y (<,)} = S • • • S S«a («її. • • •. "іл) •

J1=O J7=O u.j

aJ1 (иІІ9 ..., U1J1) cum {X (U-Un)...X (tt- и17і), ...,

X(I1-U11). ..X(I1-U1J1)}.

Кумулянты, зависящие от значений X, согласно теореме 2.3.2, являются суммами произведений совместных кумулянтов величин X(ti—uu). Суммы эти берутся по неразложимым разбиениям и имеют вид

S су(—ии; (i, J)GP1)...CV1-U0', (i, j)?PM).

Поскольку ряд стационарен, куму/янты зависят только от разностей tt—ty — Uij + Ui'j'. В силу леммы 2.3.1, среди разностей ti — ti' будет / — 1 независимых. Пусть для определенности это ti — tIi...,tI^1 — tI. Полагая 0 = 0, мы видим теперь, что

2...2|сит{Г(^),...,Г(0-х),Г(0)}|<

2 2...22IM^ •.•^u,)-..

aJx(U11, . ..,M777)12?Сі—«і/ +"/у, ...,0-1 — ui-ur + "И"')f

M

где g—абсолютно суммируемая функция своих аргументов. Сделав замену переменных

Si=*! — Щ/ + Ul г,

убеждаемся, что кумулянты ряда Y (t) абсолютно суммируемы.

Доказательство теоремы 2.10.1. Мы несколько предвосхитим дальнейшее изложение материала. В § 4.6 будет показано, что можно представить ряды в виде

я я

X (t) = 5 ехр {Ш\dZx (X), F(O= $ ехр {Ш} dZy(X),

-Я -Я

где

cum{dZx(K1), ...,dZx(Kk)\

= т] (X1 + ... -f Kk) fx.. x (K1, ...,Kk)dKt.. .dXk, cum {dZy (K1), ..., dZY (Kk)\

= r\(Kt+ ...+Kk)fy,,,Y (K1, ...,Kk) dKt.. .dKk.

Подстановка этих выражений в (2.9.15) показывает, что

dZy(K) = Z\ • • •b^i+ - - - Aj(v1, ...,CCj)

j

XdZx (a,)...dZx(aj).

Теперь, применив теорему 2.3.2 и воспользовавшись выписанными выражениями, получаем нужную нам формулу (2.10.10).

К главе 3

Доказательство теоремы 3.3.1. Первое равенство в (3.3.18) получается немедленно. Переписав интеграл в виде

J H (а) А (*--?) da= J Я («) Г ? ^/1^ + О (n^\a\Ada,

-оо -co L P=O J

приходим к второму равенству.

Доказательство леммы 3.4.1. Имеем Up(X) = S а (м) [ S Х(* —и)ехр{—ШИ

w=- оо L^ = O J

О ГГ-1 -«-1 Г-1-мі

= S а (а) ехр {—Ou} 2~ S + S7,

OO

X [X (v) ехр {— *'Ях>}] + 2 а (а) ехр {— і'Хи}

х fs + S - S 1[Х(У)ехР{-іМ]

= А(К) dT(X)+e(T)(X)> где I е(Г) (X) I < L 21 а (и) 11 а I при некотором конечном L, посколь-

и

ку компоненты X(O ограничены.

Доказательство теоремы 3.5.1. Теорема прямо вытекает из подстановки / = J1T2 + /2, t = t1 + t2T1 и из того, что ехр {—i2nk} = l для целых k.

Доказательство теоремы 3.5.2. См. доказательство теоремы 3.5.3.

Доказательство теоремы 3.5.3. Прежде всего отметим, что целые числа

^+•••+Т7> о<//<т/-1, (*)

взятые по mod T9 пробегают все целые значения t из промежутка О^^^Г — 1. Поэтому (*) принимает T1.. .Tk = T возможных целых значений. Предположим, что два из них совпадают по mod Ту т. е. при некотором целом /

т • • • т ^ - Ті і- . .. -f Тл і-^ .

Это эквивалентно равенству

T1 ~ . "г---"1" т* "1^''

левая часть которого не делится на T1, в то время как правая часть делится. Получено противоречие, следовательно, значения (*) совпадают с целыми ^ = О, ...,T-I. Утверждение теоремы получается теперь, если рассмотреть по mod T

1 - T1 ~r •' ' ^ Th #

Доказательство леммы 3.6.L См. доказательство леммы 3.6.2. Доказательство леммы 3.6.2. Если подставить в (3.6.11)

В случае г = 2 отсюда получается (3.6.5), а при |i/y|^S—T имеем (3.6.10).

Доказательство леммы 3.7.1. Утверждение легко проверяется после того, как установлено соответствие (3.7.7).

Доказательство теоремы 3.7.1. См. книгу Bellman (1960).

Доказательство теоремы 3.7.2. Матрица ZTZ неотрицательно определенная и эрмитова. Поэтому ее собственные значения имеют вид причем выберем |лу. ^ 0. Пусть V обозначает ассоциированную матрицу, составленную из соответствующих собственных векторов; для нее Z1ZV = VD, где диагональная матрица D = diag{^t/}. Допустим, что M = diag {(I7} имеет размеры sxr. Выберем U так, чтобы UM = ZV. Тогда ясно, что U—унитарная матрица, составленная из собственных векторов ZZT; теорема полностью доказана.
Предыдущая << 1 .. 119 120 121 122 123 124 < 125 > 126 127 128 129 130 131 .. 163 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed