Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку a^.(w) абсолютно суммируемы, из теоремы Фубини вытекает абсолютная суммируемость ряда ayV..у ^1).
Следовательно,
S-.. S I«/г.../*— а^.....— --/*("і.....^л-і)|<°°-
Оправдано будет и изменение порядка усреднения и суммирования, позволяющее перейти от (*) к (**). Теперь функция dbl...bk(vly .. представима как сумма сверток абсолютно
суммируемых функций, а потому сама абсолютно суммируема. Значит, ряд Y (t) удовлетворяет условию2.6.1. Выражение (2.8.1) мы получим, применив преобразование Фурье к кумулянтной функции ряда Y (t) и воспользовавшись при этом тем, что рассматривается сумма сверток.
Доказательство леммы 2.9.1. Если X (t) —марковский гауссов-ский ряд, то X (s + t) — E{X (s + t)\X(s)}9 t>0, s>0, не зависит отХ (0). Поэтому cov {X (0), [X (s+t)—E{X (s + t)\X (s)}]}=°> а так как Е{Х ($ + t)\X (s)\ = K + X(s)cxx(t)/cxx(0), где К — константа, то
cXx(s + t) = Cxx^is) при s,*>0.
Это показывает, что
Cxx(t) = cxx(0)[cxx(\)/cxx(0)Y при *>0.
Для завершения доказательства остается заметить, что cxx(t)=* = схх (-1).
Доказательство теоремы 2.9.1. Начнем с того, что при сделанных предположениях Y (t) существует с вероятностью 1, так как
2I aS-Щ) |Е I X(U1) I +2 2I а2 (t-ul9t-u2) \ E | ХЦиг)Х(и9)\+ ...
U1 Ut U9
< E IX (t) I SI <Н (U1) I + EIX (О I8 Sl а2 («і. U2) | + . . . < оо.
Рассмотрим далее
cum
{Y (/<), ..., Y (<,)} = S • • • S S«a («її. • • •. "іл) •
J1=O J7=O u.j
aJ1 (иІІ9 ..., U1J1) cum {X (U-Un)...X (tt- и17і), ...,
X(I1-U11). ..X(I1-U1J1)}.
Кумулянты, зависящие от значений X, согласно теореме 2.3.2, являются суммами произведений совместных кумулянтов величин X(ti—uu). Суммы эти берутся по неразложимым разбиениям и имеют вид
S су(—ии; (i, J)GP1)...CV1-U0', (i, j)?PM).
Поскольку ряд стационарен, куму/янты зависят только от разностей tt—ty — Uij + Ui'j'. В силу леммы 2.3.1, среди разностей ti — ti' будет / — 1 независимых. Пусть для определенности это ti — tIi...,tI^1 — tI. Полагая 0 = 0, мы видим теперь, что
2...2|сит{Г(^),...,Г(0-х),Г(0)}|<
2 2...22IM^ •.•^u,)-..
aJx(U11, . ..,M777)12?Сі—«і/ +"/у, ...,0-1 — ui-ur + "И"')f
M
где g—абсолютно суммируемая функция своих аргументов. Сделав замену переменных
Si=*! — Щ/ + Ul г,
убеждаемся, что кумулянты ряда Y (t) абсолютно суммируемы.
Доказательство теоремы 2.10.1. Мы несколько предвосхитим дальнейшее изложение материала. В § 4.6 будет показано, что можно представить ряды в виде
я я
X (t) = 5 ехр {Ш\dZx (X), F(O= $ ехр {Ш} dZy(X),
-Я -Я
где
cum{dZx(K1), ...,dZx(Kk)\
= т] (X1 + ... -f Kk) fx.. x (K1, ...,Kk)dKt.. .dXk, cum {dZy (K1), ..., dZY (Kk)\
= r\(Kt+ ...+Kk)fy,,,Y (K1, ...,Kk) dKt.. .dKk.
Подстановка этих выражений в (2.9.15) показывает, что
dZy(K) = Z\ • • •b^i+ - - - Aj(v1, ...,CCj)
j
XdZx (a,)...dZx(aj).
Теперь, применив теорему 2.3.2 и воспользовавшись выписанными выражениями, получаем нужную нам формулу (2.10.10).
К главе 3
Доказательство теоремы 3.3.1. Первое равенство в (3.3.18) получается немедленно. Переписав интеграл в виде
J H (а) А (*--?) da= J Я («) Г ? ^/1^ + О (n^\a\Ada,
-оо -co L P=O J
приходим к второму равенству.
Доказательство леммы 3.4.1. Имеем Up(X) = S а (м) [ S Х(* —и)ехр{—ШИ
w=- оо L^ = O J
О ГГ-1 -«-1 Г-1-мі
= S а (а) ехр {—Ou} 2~ S + S7,
OO
X [X (v) ехр {— *'Ях>}] + 2 а (а) ехр {— і'Хи}
х fs + S - S 1[Х(У)ехР{-іМ]
= А(К) dT(X)+e(T)(X)> где I е(Г) (X) I < L 21 а (и) 11 а I при некотором конечном L, посколь-
и
ку компоненты X(O ограничены.
Доказательство теоремы 3.5.1. Теорема прямо вытекает из подстановки / = J1T2 + /2, t = t1 + t2T1 и из того, что ехр {—i2nk} = l для целых k.
Доказательство теоремы 3.5.2. См. доказательство теоремы 3.5.3.
Доказательство теоремы 3.5.3. Прежде всего отметим, что целые числа
^+•••+Т7> о<//<т/-1, (*)
взятые по mod T9 пробегают все целые значения t из промежутка О^^^Г — 1. Поэтому (*) принимает T1.. .Tk = T возможных целых значений. Предположим, что два из них совпадают по mod Ту т. е. при некотором целом /
т • • • т ^ - Ті і- . .. -f Тл і-^ .
Это эквивалентно равенству
T1 ~ . "г---"1" т* "1^''
левая часть которого не делится на T1, в то время как правая часть делится. Получено противоречие, следовательно, значения (*) совпадают с целыми ^ = О, ...,T-I. Утверждение теоремы получается теперь, если рассмотреть по mod T
1 - T1 ~r •' ' ^ Th #
Доказательство леммы 3.6.L См. доказательство леммы 3.6.2. Доказательство леммы 3.6.2. Если подставить в (3.6.11)
В случае г = 2 отсюда получается (3.6.5), а при |i/y|^S—T имеем (3.6.10).
Доказательство леммы 3.7.1. Утверждение легко проверяется после того, как установлено соответствие (3.7.7).
Доказательство теоремы 3.7.1. См. книгу Bellman (1960).
Доказательство теоремы 3.7.2. Матрица ZTZ неотрицательно определенная и эрмитова. Поэтому ее собственные значения имеют вид причем выберем |лу. ^ 0. Пусть V обозначает ассоциированную матрицу, составленную из соответствующих собственных векторов; для нее Z1ZV = VD, где диагональная матрица D = diag{^t/}. Допустим, что M = diag {(I7} имеет размеры sxr. Выберем U так, чтобы UM = ZV. Тогда ясно, что U—унитарная матрица, составленная из собственных векторов ZZT; теорема полностью доказана.