Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
еу,,.у/=2\...%, (*)
где D11 = cum (Ftti, ..., Yam)9 P = (?» ..., ат) и суммирование ведется по всем разбиениям ...,P7,) множества (1, ...,у%^ Кроме того,
BY1...Yy = EJl II Xn=4ZCy1... С (**)
где Cv= cum (Xai> ..., Хат), V= (aif ..., ат) (а обозначают пары целых чисел) и суммирование распространяется на все разбиения множества {(m, п) \ т = 1, ...,/; п = 1, ..., km}. Из (*) и (**) видим, что
cum (Y i9 ..., Y1) = SCVl.. .Cv,-2# Л* - • •^V
v ц
Здесь 2м. берется по всем разбиениям с 2. Тем самым в этом выражении члены, соответствующие разложимым разбиениям, будут вычитаться, откуда и вытекает утверждение.
Доказательство теоремы 2.5.L Будем писать A ^ 0, подразумевая, что матрица А неотрицательно определенная. То обстоятельство, что і хх (X) —эрмитова матрица, следует из (2.5.7) и равенства схх(и)х = сХх(—и).
Далее можно предположить, что EX (t) = 0. Рассмотрим
1? (X) = (2яГ)-* р? X (t) ехр {- Ш}] [ 21X (0 ехр {-
По построению 1? (Х)>0, и тем самым E1? (X) ^ 0. Математическое ожидание
г-1
EIjR (X) = (2я)-» 21 (^Т-^ехрЬ^Си^)
и=-74-1
представляет собой среднее Чезаро для ряда fxx(X). Из условий теоремы вытекает, что этот ряд сходится, поэтому из упр. 1.7.10 получаем, что
lim EIiR (X) = f„ (X)
и, следовательно, fxx (X)^O.
Доказательство теоремы 2.5.2. Пусть EX(^) = O. Рассмотрим
YPx (X) = (2пТ)^ [ 2* X (t) ехр {- ІЩ Г2 X (0 ехр {- Ш}]" при — зх<Х<зт. По построению 1хх(Х)^0. Далее введем
7-1
1<Г)
Заметим, что и J(/x (Х)^0. Из (*) получаем
(і-Щ схх (и) = j ехр j& (і)d% (*•>
при и== О, ±1, ..., ± 7\ Последовательность я
S і xx (<*) da, —п^Х<п,
-я
матричных мер заключена между 0 и C^x(O). Обобщение теоремы Хелли о выборе показывает, что эта последовательность содержит подпоследовательность, слабо сходящуюся к некоторой матричной мере. Обозначим через Fxx (X) предел такой сходящейся подпоследовательности Л$д?(Я). Аппроксимируя интегралы конечными суммами, убеждаемся, что
я я
5 ехр {іКи\ Урх (Я) d%—» \ ехр {іЩй?хх (X).
-я -я
Помимо этого, из (**) следует, что предел семейства интегралов равен схх{и). Отсюда получается (2.5.8).
Выражение (2.5.9) вытекает из обычной формулы обращения преобразования Фурье —Стилтьеса. Приращения FXX(X) по построению ^0.
Доказательство леммы 2.7.1. Исїюльзуя свойства линейности и временной инвариантности, получаем
Я [Т"е] (t) = ехр {ІЩ Я [е] (t) = Я [е] (t + u).
Полагая Z = O, имеем
Я [е] (а) = ехр {іЩЩе] (0),
т. е. (2.7.6), где А (А,) = Я [е](0).
Доказательство леммы 2.7.2. Указанные свойства—это стандартные результаты, относящиеся к преобразованию Фурье абсолютно суммируемых последовательностей; см., например, Zyg-mund (1968).
Доказательство леммы 2.7.3. Отметим, что
¦ SIa(Z-M) |Е|Х(а)|<21Ми)1Е1х<0)1<?^
и и
следовательно,
ElSa(^ — и) X (и)] < оо,
и
так что сумма Sa(Z-и) X (и) конечна с вероятностью 1. Ста-
и
ционарность ряда Y (Z) вытекает из временной инвариантности операции.
Далее мы получим неравенства E |П (О |*<2 •.•22.-.21?* V-U1)...ab,h{t-uk)\ XE]X11(U1)...X/k(uk)\ < sup EI Xy (0) I* 2 - - - 2 2 • - - 21 ^j1 Ы - - - abJk(uk) | < oo,
завершающие доказательство.
Доказательство теоремы 2.7.1. Введем
T
Yr(0= 2 а(и)Х(*-и)
для T= 1, 2, ... . Суммирование слагаемых с 7" < 1«KT обозначим символом 2'- Тогда при 7" < T найдется некоторая константа /С, такая, что
E[Yr(0-Yr(0][Vr(0-Yr(0^
= S [S'а (и) ехР I- M] fxx (*•) [S'а (и) ехр <*Я
< ^ S [S'а (") ехр {— 1%и\\ [S'а (") єхр {— *м]
Выражение справа стремится к Опри Г, 7" —»¦ оо согласно (2.7.23). Значит, последовательность Yr(<), T= 1, 2, ..., является последовательностью Коши, и предел (2.7.25) существует в силу полноты.
Доказательство леммы 2.7.4. Обозначив
У(0 = ехр{ЗДХ(*),
W (t) = 2a(t —U)Y(U),
V(O=ехр {—ад ^ (0
= Sехр {— а0 (t-u)}a(t — u)X(t),
и
видим, что операции действительно линейны и инвариантны во времени. Полагая
V1(O = ReV(O, V2(O = - ImF(O,
убеждаемся в справедливости (2.7.34) и (2.7.35).
Доказательство теоремы 2.8.1. Векторный ряд X(O с г компонентами строго стационарен и имеет кумулянтные спектры
OO
fat-"ok(bi> -••ihY* Y(O= 2 a(f —и)Х(м), где а (а) — коэф-
фициенты sx г-фильтра, такого, что S Іаі/ (и) I < 00• * = 1» • • •
u=S — оо
..., s; /= 1, ..., г. По лемме 2.7.3 ряд Y (/) тоже строго стационарен И Существуют єг0 КуМуЛЯНТНЫе фуНКЦИИ d bfbk(vl>- • •
...,V^1). Тогда
= cum {Ybi (V1), ..., IV1 (V^1), Y„k (0)}
(Г оо
= cum j 2 2 abJl (? — Mi) XA (U1), ...,
Г со
S1 S ab' / (V^1-U^1) Xj^1 (?.,),
Г oo
- S S abk/k(-uk)Xik(uk)} (*)
/1=1 /?= 1 «і=-» "а=-00 X?4-i/ft-i "ft-i)a*ft/ft (— "*)cjt.• •/*("i- •••.«*)
Г Г оо оо
= 2---2 2 • • • 2 с,,.. .ju («і. •••» «*-і)
/,= 1 jk= \ U1=- оо Uft_1=-oo
Х«У,..-/А(°і-иі. •••.^-i — "ft-i). (**)
где
aA.../A(°i —"i» • • ..aft-i-"ft-i)
00
= 2 "і-м)---Ч-і/л-і (^-!-"«-!-")^(— ")•
f/= — 00
