Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
(10.3.23)
Из него вытекают равенства
»и(*)-1 W(X)W(X)-1WW [W W-1 W(W кк(Х)-1/2 Vy (X)]
=v7. (X) [f„ (X)-ilXY(X) W(X)-1/2 V, (X)] (10.3.24)
и
W(X)-1 W(X) txx(X)-4XY(X) [W(X)"1/2 Vy (X)]
= v7.(X)[f1T(X)-^Vy(X)], (10.3.25)
которые позволяют нам отождествить (Xy(X) и Vy(X) и взять Ay(X) и By(X) пропорциональными соответственно W(X)-1W(XJfKr(X)-1Z2Vy(X) и W(X)-1Z2Vy(X).
По сравнению со следствием 10.3.1 теорема 10.3.2 выгодно отличается тем, что ряды X (/) и Y (t) выступают в ней симметричным образом. Пары рядов ^j(t) и (/),/ = 0, ±1, введенные в этой теореме, называют /-лш парами канонических рядов. Их когерентность |ху- (X) именуется }-й канонической когерентностью. Канонические пары можно было бы ввести и по аналогии со способом теоремы 10.2.4.
В том случае, когда автоковариационные функции рассматриваемых рядов быстро убывают при \и\^оо, коэффициенты соответствующих фильтров тоже быстро убывают. Точнее говоря, справедлива
Теорема 10.3.3. Пусть наряду с условиями теоремы 10.3Л выполняются следующие:
(10.3.26)
и
2[1+|"П|схх(")1<оо
и
2[1+|иП|с„(и)1<~
(10.3.27)
при некотором Р^О. Если все • собственные значения матрицы ' yx WxXWr1IxK (X) различны, то коэффициенты Ь(и), с (и) фильтров, определенных в теореме 10.3.1, удовлетворяют условиям
2[1+MIIb(K)KoO
(10.3.28)
2[і+МЧ|с(«і)|<оо.
(10.3.29)
Автоковариационная функция ряда ошибок e(t), / = 0, ±1, также удовлетворяет условию
2[1+1"14Ke(K)KoO.
(10.3.30)
Содержащийся в следующей теореме близкий результат оказывается иногда полезным при упрощении структуры временных рядов.
Теорема 10.3.4. Пусть выполняются условия теоремы 10.3.1 и неравенства
2[l+W4|c„(n)|<oo, (Ю.3.31)
2[1+НЧ|скг(")К<*>
(10.3.32)
при некотором Я>0. Пусть также собственные значения Vi (X), ..., MX) матрицы !„,(X)-*/» fra(X)f„(X)-* f*K(X) fKr(X)-1/a не совпадают друг с другом и отличны от нуля. Тогда существуют такие г у, г-фильтр {а (к)} и sxs-фильтр {Ь(и)\, что
и р*д
2[1+|"Г]|а(и)|<оо,
и
2[1+1«П1Ь(и)|<оо.
и
Sa(^-W)X(U)-
U
Sb(<-u)Y(«)
(10.3.33) (10.3.34)
имеет матрицу спектральной плотности
1 О О
о 1 о
• о Vm>§3 . о
• О О Vm^J
• о о
о о
о • **:
о
1 о
О 1
о о
•да
о 1
о о
-да
О •
•
о о о
(10.3.36)
Пинскер (1960) отметил, что, пропустив стационарный ряд через фильтр, можно получить ряд с матрицей спектральной плотности (10.3.36).
10.4. Построение оценок
и их асимптотические свойства
Допустим, что мы располагаем отрезком ГХ (01
[X (01
стационарного временного ряда с r+s компонентами
имеющего матрицу спектральной плотности
Lf„ (Ji) fкк (X)J -
(10.4.1)
[yjlj] , / = 0, ±1, (10.4.2)
(10.4.3)
На основании этой информации мы хотим оценить собственные значения \ij (X) и передаточные функции Ay (Я), В,- (X), /'=1,2,..., описанные в теореме 10.3.2. Очевидный способ действий — сна-
10.4. Построение оценок и их асимптотические свойства
413
чала построить матрицу
с
Tx (Ц гру щ
?yy (Я) tyy (A.) J ' <Ш-4-4>
т. е. оценку матрицы (10.4.3), а затем в качестве искомых.оценок выбрать решения уравнений
UFi W-1Wy (X) f ft (X)-1 № (X) Af (X) -,if (Я) Af > (X), (10.4.5) І» (Х)-ЧЙ (X) fft (X)-1 f& (X) (X) = iip (X) Bf (X), (10.4.6)
подчиняющиеся условиям нормиррвки
Af(XfAf(X)=I и Bf(X)1Bf(X) = K (10.4.7)
Рассмотрим теперь статистические свойства получающихся оценок.
Предположим, что в качестве оценки (10.4.4) выбрана функция
Г-1
2пТ~* X Wm
1(T) [2ns\ 1(Г) [2ns\
(10.4.8)
где
ПЙ(«) ITy Щ
№(«) mm _
-(2«T) ^ Y (t) ехр f- fa*}J Ls Y (0 ехр {- fa*}J ' <10'4'9>
и что Wm(a) с помощью некоторой весовой функции W (а) выражается как
(а)» J ^(ВгЧа+гя/]). (10.4.10)
/=-••
Тогда справедлива
Теорема 10.4.1. Пусть (г + э^мерный ряд (10.4.2) удовлетворяет условию 2.6.2 (1) и определим vf (X), Rf(X), Sf(X) кл/с решения системы уравнений
g» (X)-1 g& (X) gft (X)-1 gft (X) Rf (X) = vf (X) Rf (X) (10.4.11)
где
Um «'и wJ І w (k-a) Lw i„wl *¦ (10•''¦,3,
Выберем оценку (10.4.4) в виде (10.4.8) и потребуем, чтобы W (ос) удовлетворяла условию 5.6.1. Величины jip(X), Ap(X), Bp(X) определим из соотношений (10.4.5) и (10.46). Если B7T —>оо при T —* оо, то
E^p(X) = Vp (X) + 0(5? "T-*'*). (10.4.14)
?ош, /срож того, собственные значения матрицы fYY (X)-1/2f кх (X) х xfnW"lWW Гкк(Х)"1/2 различны, то
Efif (X) = vf > (X) + О (Bf гГ-Ч, (10.4.15)
ЕА}Г> (X) = R<f> (X) + О {Bt1T-I) (10.4.16)
а
EBp (X) = Sp (X) +0 (Bf1T-*) (10.4.17)
яри / = 1,2,....
?с/ш ВГ->0 мри Т—*оо, то, очевидно$
Efip (X), E fxp (X) — |iy (X) (10.4.18)
EA^W-.Ay(X), EBp (X) -^Ву(Х).
Теорема 10.4.1 свидетельствует о важной роли предварительной фильтрации. Распределения р{р(к), A^(X), B^(X) имеют своими средними решения уравнений (10.4.11) и (10.4.12), однако последние будут близки к искомым решениям (10.3.21) и (10.3.22) только тогда, когда взвешенное среднее (10.4.13) близко к (10.4.3). Рассчитывать на это можно с большим основанием, если подвергнуть предварительно наш ряд надлежащей фильтрации.
