Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бриллинджер Д.Р. -> "Временные ряды. Обработка данных и теория." -> 119

Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.

Бриллинджер Д.Р. Временные ряды. Обработка данных и теория.: Монография. Перевод с английского.. Под редакцией А.Н. Колмогорова — М.: Мир, 1980. — 536 c.
Скачать (прямая ссылка): 1980brillindzher_d_vremennye_ryady_obrabotka_dannyh_i_teoriya.djvu
Предыдущая << 1 .. 113 114 115 116 117 118 < 119 > 120 121 122 123 124 125 .. 163 >> Следующая


п\ точное распределение выборочных канонических корреляций, которое зависит лишь от канонических корреляций генеральной совокупности, приведено в работах Constantine (1963) и James (1964). Распределению векторов посвящена статья Tu-mura (1965), а вычислительным аспектам — Golub (1969). В нормальном случае Izenman (1972) нашел асимптотическое распределение оценки для CB из (10.2.4).

Нам понадобятся аналоги рассмотренных результатов для векторов с комплексными компонентами. Пусть такой вектор

га

(10.2.46)

имеет г+ s компонент; обозначив его среднее через

LEY

и ковариационную матрицу—через

ГЕХНк1 (10-2-47)

предположим, что

(Mt^'Mfe 00-2.48,

Тогда имеет место

Теорема 10.2.4. Пусть заданы случайный вектор (10.2.46) с комплексными компонентами, его среднее (10.2.47) и ковариационная матрица (10.2.48). Предположим, что Ъхх и Г невырож-денны, причем Г > 0. Тогда минимум выражения

Е{[У—ji — СВХ]Т Г-1 [Y — (л—CBX]}

достигается при выборе qxr-матрицы

B =

LV*J

sxq-матрицы

C = rv2[Vl...Va]

(10.2.50)

(10.2.51)

(10.2.52)

jut = fiK—CB^; (10.2.53)

обозначает j-й собственный вектор матрицы г. Если (Xy—соответствующее

здесь

собственное значение, то минимум (10.2.50) равен tr {(^yy-lyx^x^xv) Г-1} + S IV-

/><7

(10.2.54)

Подчеркнем, что Vy определены лишь с точностью до множителя, равного по модулю 1. Далее справедлива

Теорема 10.2.5. Рассмотрим (г + s)-компонентный случайный вектор (10.2.46) со средним (10.2.47) и ковариационной матрицей (10.2.48). Пусть матрицы Ъхх и En, невырожденны. Тогда qxl-матрица jx, qx г-матрица D и qxs-матрица Е, для которых EEnJE* = 1, DSXXDT = I, доставляют минимум выражению

E {[EY-u—DX]T [E Y—jx- DX]}, (10.2.55)

если

D =

E =

у-1/2 ^xx »

V-1/8 ItYY

(10.2.56)

(10.2.57)

|li = E|lik— Dfi*, (10.2.58)

где Vj обозначает \-й собственный вектор матрицы

2уу/2?кх2хх2хк2ху2 и Uy-/-й собственный вектор матрицы

Как и в случае действительных векторов, мы приходим к величинам

?/ = "'Х' (10.2.59)

с коэффициентами ау. и [Jy, пропорциональными Sx1^2Uy и SyV2Vy соответственно. Выберем нормировку

^a7= 1, §/Ру = 1. (10.2.60) В таком случае получим

Следствие 10.2.5. При выполнении условий теоремы 10.2.5

cov{Cy, W = e{/r*)(5?Sjri«y). (10.2.61)

cov {Су, U = O (10.2.62)

для /, ft« 1, .. і, г,

cov {C71 со,} = б {/-ft} (ojSxrf,), (10.2.63)

cov {Су, (оЛ} = 0 (10.2.64) яри /*=1, г; ?=1, s;

cov {шу, со,} - б {/-ft} (р}2ккРу), (10.2.65)

cov {coy, Co^ = O (10.2.66)

при /, ft = 1, ..., s.

Если /-е собственное значение матрицы 2^2^2^2^2

YY

обозначить символом \iJt то окажется, что

|і/Яп'^Р ч (10.2.67)

при/=1, min (г, s). Величины Су, о)у при/= 1, . ..,min(r, s) будем называть /-й парой канонических переменных, а число Py = (Xy72^O назовем /-лі каноническим коэффициентом корреляции. При />min(r, s) полагаем Py = O и выберем ау. и ру так, чтобы

р/ = КЩгт) <№Ш1т (1°'2,68)

при /=*1.....rain (г, s).

Канонические переменные для комплексных случайных величин встречаются в работе Пинскера (1964, стр. 134).

Предположим теперь, что (LiJf = O и (LIy=O и что нам известна выборка

[$/]. (10.2.69)

/ = 1, я, значений величины (10.2.46), о которой шла речь в теореме 10.2.5. Построим оценку величины (10.2.48), взяв

SXyX/

2« = -—-

2*Д7

V і__

*jrr- п—' Тогда оценки \iJf af и P7- определятся из уравнений

txktgji&YYtyjflj = Иу«у (10.2.71)

и

2ук^у2п^яР/ =?уРу (10.2.72) при условиях нормировки

ajay = l,ljp,. = l (10.2.73)

и

-1/2 _tt/^XY^y_ Пл07.

**' 23JT^TS—-иаь- ^\'li/2^Q' (10.2.74) l(a/Sxxay)(&/SYY?y)J

В теореме 10.2.6 будем считать, что

'n«/*xxV' (1°-2J5)

и

Ь'-(Р^- (,0-2-76>

Теорема 10.2.6. Предположим, что величины (10.2.69) пред-ставляют собой выборку объема п из распределения

Пусть все собственные значения (jty, / —1, s, различны и rt^s. Тогда величины {|iy, а/9 P7; / = 1, s\ асимптотически нормальны и {(Ху, / = 1, s\ асимптотически не зависит от

{«/» Py'» /==1» sl- Выражения для асимптотических моментов имеют вид

EjIy = и/+ 0(/?"1). (10.2.78)

Еау = ау + 0(/г~1), л (10.2.79)

EPy = Py + 0(^-1), (10.2.80)

cov {Jl7., = 6 {j—k} 2иу (1 —My)Vn + О (/г-2), (Ю.2.81)

cov {«у, = («/2^y)O-My)

х 2(Р?-Р/)"2(Р/? + Р?-2р^?)а^//г + 0(/г-2) (10.2.82)

rov(S/f = (1-6 {/-*}) (Pf-Pl)-4

x(-pfp2-p|pl + 4p|pl + pf + p|-pf-p|)aka;/rt + 0 (л"2) (10.2.83) при /, Л = 1, ..., s; / = 1, .... г;

C^v {a,-, = б {j-k} («,?»,) 1/»№ууЭ*)^

X (1 -IV) S (Pf-P?)-2 (2-Pf-P?) &№in + 0 (n-8), (10.2.84)

{a,, U = (1 -б {/ - k\) («,?**,)^ (PJSn^)1" . X (Pb Pi)"2 (-pfp*- Р?РІ + P) + pfp* + 2p|p* + 2P/PJ - p|

-p!)aftbj/n + 0(n-2) (10.2.85)

при /, k, /= 1, ..., s;

wv {py, p*} = б {/-*} (PJSKypy) (1 -ty) 2 (Pl-P?)-2 (pf+ pf

-2р?р»Ь,Ь7/л + 0 (»-•), (10.2.86) c^r {p/t pft}=(1 - б {/-ft}) (p| - p|)-» (-pfpl - p|pt + 4pfpl + pf + p|
Предыдущая << 1 .. 113 114 115 116 117 118 < 119 > 120 121 122 123 124 125 .. 163 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed