Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
п\ точное распределение выборочных канонических корреляций, которое зависит лишь от канонических корреляций генеральной совокупности, приведено в работах Constantine (1963) и James (1964). Распределению векторов посвящена статья Tu-mura (1965), а вычислительным аспектам — Golub (1969). В нормальном случае Izenman (1972) нашел асимптотическое распределение оценки для CB из (10.2.4).
Нам понадобятся аналоги рассмотренных результатов для векторов с комплексными компонентами. Пусть такой вектор
га
(10.2.46)
имеет г+ s компонент; обозначив его среднее через
LEY
и ковариационную матрицу—через
ГЕХНк1 (10-2-47)
предположим, что
(Mt^'Mfe 00-2.48,
Тогда имеет место
Теорема 10.2.4. Пусть заданы случайный вектор (10.2.46) с комплексными компонентами, его среднее (10.2.47) и ковариационная матрица (10.2.48). Предположим, что Ъхх и Г невырож-денны, причем Г > 0. Тогда минимум выражения
Е{[У—ji — СВХ]Т Г-1 [Y — (л—CBX]}
достигается при выборе qxr-матрицы
B =
LV*J
sxq-матрицы
C = rv2[Vl...Va]
(10.2.50)
(10.2.51)
(10.2.52)
jut = fiK—CB^; (10.2.53)
обозначает j-й собственный вектор матрицы г. Если (Xy—соответствующее
здесь
собственное значение, то минимум (10.2.50) равен tr {(^yy-lyx^x^xv) Г-1} + S IV-
/><7
(10.2.54)
Подчеркнем, что Vy определены лишь с точностью до множителя, равного по модулю 1. Далее справедлива
Теорема 10.2.5. Рассмотрим (г + s)-компонентный случайный вектор (10.2.46) со средним (10.2.47) и ковариационной матрицей (10.2.48). Пусть матрицы Ъхх и En, невырожденны. Тогда qxl-матрица jx, qx г-матрица D и qxs-матрица Е, для которых EEnJE* = 1, DSXXDT = I, доставляют минимум выражению
E {[EY-u—DX]T [E Y—jx- DX]}, (10.2.55)
если
D =
E =
у-1/2 ^xx »
V-1/8 ItYY
(10.2.56)
(10.2.57)
|li = E|lik— Dfi*, (10.2.58)
где Vj обозначает \-й собственный вектор матрицы
2уу/2?кх2хх2хк2ху2 и Uy-/-й собственный вектор матрицы
Как и в случае действительных векторов, мы приходим к величинам
?/ = "'Х' (10.2.59)
с коэффициентами ау. и [Jy, пропорциональными Sx1^2Uy и SyV2Vy соответственно. Выберем нормировку
^a7= 1, §/Ру = 1. (10.2.60) В таком случае получим
Следствие 10.2.5. При выполнении условий теоремы 10.2.5
cov{Cy, W = e{/r*)(5?Sjri«y). (10.2.61)
cov {Су, U = O (10.2.62)
для /, ft« 1, .. і, г,
cov {C71 со,} = б {/-ft} (ojSxrf,), (10.2.63)
cov {Су, (оЛ} = 0 (10.2.64) яри /*=1, г; ?=1, s;
cov {шу, со,} - б {/-ft} (р}2ккРу), (10.2.65)
cov {coy, Co^ = O (10.2.66)
при /, ft = 1, ..., s.
Если /-е собственное значение матрицы 2^2^2^2^2
YY
обозначить символом \iJt то окажется, что
|і/Яп'^Р ч (10.2.67)
при/=1, min (г, s). Величины Су, о)у при/= 1, . ..,min(r, s) будем называть /-й парой канонических переменных, а число Py = (Xy72^O назовем /-лі каноническим коэффициентом корреляции. При />min(r, s) полагаем Py = O и выберем ау. и ру так, чтобы
р/ = КЩгт) <№Ш1т (1°'2,68)
при /=*1.....rain (г, s).
Канонические переменные для комплексных случайных величин встречаются в работе Пинскера (1964, стр. 134).
Предположим теперь, что (LiJf = O и (LIy=O и что нам известна выборка
[$/]. (10.2.69)
/ = 1, я, значений величины (10.2.46), о которой шла речь в теореме 10.2.5. Построим оценку величины (10.2.48), взяв
SXyX/
2« = -—-
2*Д7
V і__
*jrr- п—' Тогда оценки \iJf af и P7- определятся из уравнений
txktgji&YYtyjflj = Иу«у (10.2.71)
и
2ук^у2п^яР/ =?уРу (10.2.72) при условиях нормировки
ajay = l,ljp,. = l (10.2.73)
и
-1/2 _tt/^XY^y_ Пл07.
**' 23JT^TS—-иаь- ^\'li/2^Q' (10.2.74) l(a/Sxxay)(&/SYY?y)J
В теореме 10.2.6 будем считать, что
'n«/*xxV' (1°-2J5)
и
Ь'-(Р^- (,0-2-76>
Теорема 10.2.6. Предположим, что величины (10.2.69) пред-ставляют собой выборку объема п из распределения
Пусть все собственные значения (jty, / —1, s, различны и rt^s. Тогда величины {|iy, а/9 P7; / = 1, s\ асимптотически нормальны и {(Ху, / = 1, s\ асимптотически не зависит от
{«/» Py'» /==1» sl- Выражения для асимптотических моментов имеют вид
EjIy = и/+ 0(/?"1). (10.2.78)
Еау = ау + 0(/г~1), л (10.2.79)
EPy = Py + 0(^-1), (10.2.80)
cov {Jl7., = 6 {j—k} 2иу (1 —My)Vn + О (/г-2), (Ю.2.81)
cov {«у, = («/2^y)O-My)
х 2(Р?-Р/)"2(Р/? + Р?-2р^?)а^//г + 0(/г-2) (10.2.82)
rov(S/f = (1-6 {/-*}) (Pf-Pl)-4
x(-pfp2-p|pl + 4p|pl + pf + p|-pf-p|)aka;/rt + 0 (л"2) (10.2.83) при /, Л = 1, ..., s; / = 1, .... г;
C^v {a,-, = б {j-k} («,?»,) 1/»№ууЭ*)^
X (1 -IV) S (Pf-P?)-2 (2-Pf-P?) &№in + 0 (n-8), (10.2.84)
{a,, U = (1 -б {/ - k\) («,?**,)^ (PJSn^)1" . X (Pb Pi)"2 (-pfp*- Р?РІ + P) + pfp* + 2p|p* + 2P/PJ - p|
-p!)aftbj/n + 0(n-2) (10.2.85)
при /, k, /= 1, ..., s;
wv {py, p*} = б {/-*} (PJSKypy) (1 -ty) 2 (Pl-P?)-2 (pf+ pf
-2р?р»Ь,Ь7/л + 0 (»-•), (10.2.86) c^r {p/t pft}=(1 - б {/-ft}) (p| - p|)-» (-pfpl - p|pt + 4pfpl + pf + p|