Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
связаны с исследованием системы одновременных уравнений по отдельности в ряде узких частотных полос. Brillinger, Hatanaka (1969) записали систему (8.12.10) и предложили провести ее частотный анализ. Akaike (1969) и Priestley (1969) рассмотрели проблему получения оценок для систем с обратной связью.
Как отметил Durbin (1954), модель для ошибок в переменных (8.12.4) и (8.12.5) с вспомогательным рядом Z(Z) может изучаться в рамках одновременных уравнений. Мы просто запишем эту модель в такой форме:
Y (Z) - S а (Z- и) X (и) = їх + E (Z), (8.12.13)
и
X (0 = 2 d (t - и) Z (и) + V (Z) (8.12.14)
и
и будем рассматривать пару Y(Z), X(Z) как Y(Z) из (8.2.10).
8.13. Другие типы оценок
Построенные нами оценки прироста амплитуды, фазы и когерентности в каждом случае являлись выборочными аналогами соответствующих параметров генеральной совокупности. Например, мы определили
а потом построили оценку
С'Г'(Я)= 'ffi^l . (8.13.2)
IXX (ч
Но в ряде случаев может оказаться предпочтительнее не столь прямой образ действий.
Например, выражения (8.6.11) и (8.6.13) показывают, что асимптотическое смещение имеет место для С(П(Я),если спектры fyx(a) и fxx(a) будут не слишком мало меняться при а, близких к X. Таким образом, если возможно, то следует предварительно профильтровать X(Z) и F(Z), чтобы получить ряды, для которых спектры второго порядка почти постоянны. Следует оценить прирост амплитуды для этих профильтрованных рядов и построить оценку G(X).
С другой стороны, выражение (8.7.14) показывает, что
D log G^(X) = [1+т, {2X}] •
X [I Ryx (*) |~2- 1] Bf1T-1Ji J W (a)2da +О (Bf2T'2). (8.13.3)
vvyuV!/v *у vv Vі v v/ц ц/у'—v—у У 1T V
о
Рис» 8.13.1. График Ф(Г> (X)—оценки фазового угла между рядом средних месячных температур (без сезонной составляющей) в Берлине и аналогичным рядом для Вены, умноженным на —1. При оценке усреднено 15 периодограмм.
Тем самым, если | RYX (X) |2 как функция 4, будет близка к константе, можно провести дальнейшее сглаживание и оценить log G (Я) величиной
N
(2N+1)-1 2 \ogG{T)(X+nkT) (8.13.4)
при некоторых Ny Аг, построив Gm (а) по методу § 8.6.
Отметим, между прочим, возможность оценить G(X)2 в соответствии с (8.4.18) величиной
fYY {X)
(8.13.5)
В упр. 8.16.12 показано, что такая процедура приемлема не всегда. В качестве оценки фазы Ф(Х) мы предложили
*("(b) = arg>&(*)- (8.13.6)
—>
Выражение (8.6.12) показывает, что Еф(Т)(Х) является главным образом результатом нелинейного усреднения фазы с неравными весами. Это обстоятельство побуждает нас проводить, если это возможно, до оценивания фазы предварительную фильтрацию рядов, сглаживающую колебания кросс-спектра.
С другой стороны, можно было бы рассмотреть нелинейные оценки, которые не так чувствительны к изменениям весов. На-
пример, можно работать с оценкой вида
arg^Af + l)-1 S exp{/arg/(y7i(X + nAr)}') (8.13.7)
\ п--N J
или вида
N
(2W + 1)-1 ? аг§ГЛ(Х + «Аг). (8.13.8)
n=-N
Вычисляя значения arg /? (X + пАг) при построении оценки (8.13.8), необходимо быть внимательным, поскольку фазовый угол определен лишь с точностью до кратного 2я.
Эта неопределенность вызывает трудности и при графическом представлении Ф(Т) (X). Можно получить совершенно неправильную картину, если Ф(Х) быстро меняется или если велика D Ф(Т)(Х). Например, на рис. 7.2.5 показан график оценки фазового угла между рядами средних месячных температур в Берлине (с сезонной поправкой) и Вене, построенный по кросс-периодограмме. Интерпретировать этот график трудно, потому что, когда фаза испытывает небольшой скачок, скажем от л—є к я + е, оценка Ф(Т) (X) изменяется от я —є до —я —є, если изображать ее в промежутке (—я, я]. Один из способов уменьшить влияние этого эффекта — рисовать график каждой фазы дважды, выбирая два ее значения в промежутке (—2я, 2я]. Картинка особенно улучшится, если истинная фаза близка к я. Например, на рис. 8.13.1 изображена оценка фазы, соответствующая усреднению 15 периодограмм между средними месячными температурами с сезонной поправкой в Берлине и отрицательными значениями таких средних температур для Вены, когда за область изменения Ф(Т) (X) принят промежуток (—я, я]. Если, как предлагалось, увеличить эту область изменения до (—2я, 2я], то получится рис. 8.13.2. Tukey рекомендовал строить график для значений в промежутке [0, я] и при этом пользоваться разными значками или линиями для различения фаз с главной областью изменения (я, 2я] и фаз, принимающих значения в [0, я]. Если так изобразить данные, относящиеся к Берлину и Вене, то получится рис. 8.13.3.
Имеется другая возможность — строить график оценки группового запаздывания, см. выражение (8.4.27). Тогда не возникает затруднений с произвольными добавками 2я. Вообще говоря, выбор лучшего графика, по-видимому, зависит от Ф(Х)> находящихся в распоряжении исследователя.
Обратимся теперь к другим оценкам когерентности. Смещение \R(Yx(k)\2 можно уменьшить, если провести предварительную фильтрацию фильтруемого ряда, а затем алгебраически вывести оценку когерентности.
