Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 8.11.1. Пусть (г + ^-мерный векторный ряд (8.1.1) удовлетворяет условию 2.6.1, и выполнены предположения теоремы 8.6.1. Пусть D7=(B7T)1^Bt при некотором е > 0 и ^Bf <
T
< оо при некотором frz > 0. Тогда при T—>-oo почти наверное
А"> (Я) = {Efft (Я)} {EVpx (Щ-1 + О (Df1). (8.11.1)
Кроме того,
A™ (Я) = A (Я) + О (ВТ) + О (Df1), (8.11.2)
Щ> (Ц = Фу» W + О (B7) + О (Df1), (8.Yl .3)
Gf (Я) = G]k (Я) + О (ВТ) +О (Df1), (8.11.4)
g& (Ц = gee (Ц + О (ВТ) + О (Dr1), (8.11.5)
R VJy11-X (Ц = RY.Yk.x (Я) + О (Br) + О (Df1), (8.11.6) I Ry7X (Я) I2 = I Ryx (Ц I2 + О (Br) + О (Df1) (8.11,7)
почти наверное при Т—+оо для *—оо < Л< оо, / = 1, ..., s; k=\, г. Величины, входящие в О(-), допускают оценки,
равномерные по Я.
Из этой теоремы вытекает, что если Вг, Df1—при Т—±оо, то рассмотренные статистики являются сильно состоятельными оценками соответствующих параметров.
8.12. Дальнейшее обсуждение
Статистики, которые рассматриваются в этой главе, в общем случае комплексные. Поэтому никаких трудностей не возникает, если имеются программы для ЭВМ, рассчитанные на обращение с комплексными величинами. Однако зачастую это не так, поэтому стоит отметить, что можно вычислять статистики с помощью программ, обрабатывающих действительные величины. Например, возьмем оценку комплексного коэффициента регрессии
АСЛ(А,) = ІЙ(Х)^І(Л,)-Ч (8.12.1)
Применив операцию, описанную в § 3.7, получим
А<™ (Л,)* = 1? (X)* {IJR (M*}"1. (8-12.2)
Взяв первые s строк в (8.12.2), получим набор уравнений, вовлекающих только действительные величины:
[Re А(л (X) Im (X)]
= [Re.n%(M Imf&(*)]
Г RefJHM Im 1? (Я)" L-ImVpx(X) Re 1? (A)J
X
(8.12.3)
Основное усложнение, связанное с такой редукцией, состоит в удвоении размерности вектора X. Другой подход к уравнению (8.12.1) можно предложить на основе упр. 3.10.11.
Можно также выписать статистики — выборочные аналоги выражений (8.4.13) и (8.4.14) —и определить спектральную плотность ошибки, частную когерентность и множественную когерентность.
• Далее упомянем интересные аналоги в частотной области следующих важных проблем, которые можно назвать так: ошибки в исходных переменных и системы одновременных уравнений, тип которых описывается ниже.
Предположим, что ряд Y(O, / = 0, ±1, задается формулой
Y (0 = Ii + S a (t - и) ? (и) + 8 (t), (8.12.4)
и
где r-мерный ряд X(t), / = 0, ±1, непосредственно не наблюдаем, а 8(0, tf = 0, ±1, ..., — ряд ошибок, не зависящий от 3t(t). Будем, однако, считать, что наблюдаем ряд
Х'(0 = #(0+Л(0 (8.12.5)
и Tj(O, t = 0, ±1, ..., — это ряд ошибок, не зависящий от dc(t). Проблема оценки jw и {а(и)\ в подобной ситуации —это проблема ошибки в исходных переменных. Имеется значительная литература, посвященная этому вопросу для рядов с нулевой сериальной корреляцией; см. например, Durbin (1954), Kendall, Stuart (1961). Если рассматриваемые ряды стационарные, то можно написать
dVr> (^iA^df'^j + d'/'^), (8.12.6) d<I»(^)=d^(^)+d<[>(^), (8.12.7)
причем указанные величины почти некоррелированны при разных s. Благодаря этой слабой корреляции мы можем теперь
попытаться найти подход к проблеме ошибок в исходных данных, применяя различные классические процедуры. Решение нашей задачи (8.12.4)-(8.12.5) будет связано с нахождением отдельных ошибок в переменных для каждой из частот Я, принадлежащих промежутку [0, я].
Пожалуй, самые красивые результаты получаются, когда наряду с рядами Y(Z), X(Z) доступен анализу r-мерный вспомогательный ряд Z(Z), Z = O, ±1, ... . Этот ряд коррелирован с J(Z), Z = O, ±1, но некоррелирован с рядами 8(Z) и Tj(Z). В стационарном случае из выражений (8.12.5) и (8.12.4) получаем
hz W = А(Л,)1«(Л). (8.12.8)
Статистику
А(Г) (Я) = f/і (Я) iTz (X)"1 (8.12.9)
можно предложить в качестве оценки для А (Я). Об этой процедуре см. Hannan (1963а) и Parzen (1967b). Akaike (1966) предложил процедуру, полезную, если ряд T)(Z) — гауссовский, а Зс (Z) — негауссовский.
Различные модели в эконометрике приводят к системам одновременных уравнений, имеющих вид
2 a (Z - и) Y (и) = 2 b (Z - и) Z (и) + г (Z), .(8.12.10)
и и
где Y(Z), 8(Z) есть s-мерные векторные ряды, a Z(Z) есть r-мерный ряд, не зависящий от 8(Z); см. Malinvaud (1964). Модель вида (8.12.10) называется системой структурных уравнений. Ода отличается чрезвычайной общностью, становясь, например, водном случае схемой авторегрессии, а в другом—линейной системой
Y (Z) = 2а (Z-и) X (и) + 8 (Z) (8.12.11)
и
с коррелированными рядами X(Z), 8{Z). Эта корреляция может быть обязана наличию в системе обратной связи. В эконометри-ческих задачах часто интересуются оценкой коэффициентов отдельного уравнения системы (8.2.10), и целый ряд таких процедур был предложен Malinvaud (1964) в случае отсутствия сериальной корреляции.
В стационарном случае можно выписать выражение
A (X) d</> (^)іВ (X) &Р (Hj?) + (8.12.12)
взяв 2ns/7\ близким к Я, с переменными, почти некоррелированными при разных s. Ясно, что для оценки интересующих нас коэффициентов можно применять к системе (8.12.12) комплексные аналоги различных эконометрических оценок. Процедуры эти
