Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
Замечание. Задача о движении трех вихрей на сфере с помощью традиционного подхода изучалось в [260, 261], а также в [284, 285]. Почти все эти результаты существенно перекрываются в работах [205, 206, 207], вышедших одновременно с [260, 261, 284, 285].
4. Рассеяние вихрей на плоскости. В системе трех вихрей рассеивающимися назовем траектории, для которых, по крайней мере, одно из взаимных расстояний (M15M2-M3) бесконечно увеличивается. В отличие от коллапса, рассеяние может происходить при D ф 0.
Определим новые переменные, с помощью которых задача о разбе-гании вихрей на плоскости может быть сведена к исследованию коллапса:
1
Xb = -.
к MiMj
(4.11) § 5. Разрешимые задачи динамики вихрей на плоскости и сфере 307
Уравнения движения для них имеют вид
^ X1 = жі((Г2 - Тз)х1 + T3X2 - Г2Ж3),
(4.12)
а соотношение, ограничивающее физическую область Д2 ^ 0, не изменится
Выберем, как и выше а3 = —1, «2,вз > 0- Траектория в пространстве переменных X1, х2. X3 задается интегралами момента D и энергии С, которые можно представить в форме
При D = 0 типы траекторий (раздел 3, случаи 1°, 2°, 3°), определяемые (4.14), аналогичны разобраным выше. Неоднородному рассеянию 1° в системе трех вихрей соответствует неоднородный коллапс в системе (4.12), при условиях а) а 1 = 1, Ь) а2 = 1, с) U1 = а2 = 1.
Однородный коллапс и рассеяние 3° в переменных Mi остаются однородными в системе Xi, меняется только направление движения по траекториям. Явные квадратуры и анализ абсолютного движения в этом случае приведены в [105].
Численное исследование при D ф 0 также показывает, что в системе (4.12) существуют только траектории типов 1°, 2°, 3° предыдущего пункта. В связи с этим, по видимому, наличие в системе вихревой пары («,1 = 1 или а2 = 1) является необходимым и достаточным условием рассеяния.
§ 5. Разрешимые задачи динамики вихрей на плоскости и сфере
В отличие от задач двух и трех вихрей, система четырех вихрей на плоскости в общем случае уже не является интегрируемой [218, 127, 117]. На сфере имеет место аналогичная ситуация [6, 14, 193]. Для задачи четырех вихрей на плоскости имеются частные случаи интегрируемости, достаточно полный обзор которых содержится в книге [117]. Известны также частные решения (стационарные и статические конфигурации) системы п вихрей па плоскости [117]. Их сферические аналоги
2(х1х2 + X1X3 + х2х3) — х\ — х\ — х\ ^ 0. (4-13)
X
(I1X1 + d2X2 + а3х3 = DsJX1X2X3,
-O1-I l + ei+Ої = С= consL
(4.14) 308
Глава Ji
указаны в [205]. Здесь мы остановимся на наиболее известных решениях с точки зрения методов, развитых в предыдущих параграфах.
1. Частный случай задачи N вихрей, сведение к задаче (N — 1) вихрей. Существует частный случай задачи N вихрей на плоскости и сфере, для которого она может быть сведена к системе (N — 1) вихрей с той же алгеброй скобок Пуассона, но приведенной функцией Гамильтона. Процедура редукции в гамильтоновом описании соответствует ограничению системы на пуассоново подмногообразие (§ 1 гл. 1), которое определяется в данном случае условиями инволютивности интегралов (1.4), (2.10). Для плоскости они принимают вид
N
^ri = O, Q = P = O, => d = 0, (5.1)
г = 1
где Q, P — абсолюные координаты центра завихренности на плоскости (1.4). Для сферы аналогично получаем
F1=F2=F3= 0, ^ ?>=?>тах = 2(д^Г4)2. (5.2) Здесь Fi интегралы (2.10) для сферических вихрей.
Замечание 1. Геометрический смысл уравнений (5.1) состоит в том, что каждый вихрь находится в центре завихренности всех остальных вихрей.
N-I
Действительно, выражая, например, Гдг = — ^^ Г,- из (5.1) получаем, что
;=i
абсолютные координаты N-го вихря определяются выражениями
jv-i E Г» Г;
S = I
Т» = N-I ¦
E Ti
I=I
На сфере геометрический смысл соотношений (5.2) несколько иной, он заключается в том, что центр завихренности системы N вихрей совпадает с геометрическим центром сферы.
Указанное ниже сведение происходит вследствие возможности определения положения N вихрей по положению всего (N — 1)-го вихря.
Для нахождения дополнительных инвариантных соотношений для § 5. Разрешимые задачи динамики вихрей на плоскости и сфере
309
относительных переменных воспользуемся тождествами [117]
N
і Y Tk(Mik - Mik) = Р(хі - x,j) + Qiyi - Vj) (5.3)
1 2
г=1
их обобщениями для сферы [205]
JV
і YiTkiMjk - Mik) = R(FiiXi-Xj) + F2ІУі - Vj) + Fsizi - Zj)).
При условиях (5.1), (5.2) получаем инвариантных соотношений
Их необходимо ДОПОЛНИТЬ соотношениями ДЛЯ Aijk, которые также следуют из (5.1), (5.2). Как можно показать непосредственными вычислениями, полный набор этих соотношений определяет пуассоново подмногообразие структур (1.10), (2.14), (2.16).
Используя представление для M^ в абсолютных координатах (1.7), несложно проверить, что среди уравнений (5.5) только N-I линейно независимых. С помощью них можно выразить квадраты расстояний от всех вихрей до iV-того вихря — Мкм, k = 1,... ,N- 1 через взаимные расстояния между N-I вихрями Mij, i,j = 1,... ,N — 1. Подставляя их затем в исходный гамильтониан, получим систему со скобкой задачи N- 1 вихря и приведенной функцией Гамильтона.
