Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
Исследуем сначала возможность однородного коллапса для трех вихрей. При однородном коллапсе все расстояния между вихрями оди- § 3. Движение трех вихрей. Общий компактный случай
303
а І а) л/2 а, b) . к/2
і і і і і і і
'd, 0 dj сі, о сі; d, dT 0 D
Рис. 48. Угол наклона на сфере для случаев а) А < 0 и S > 0; b) А < 0 и 5 < 0.
иаковым образом зависят от времени и находятся в постоянной пропорции [128]. Используя изоморфизм с задачей Лоттки Вольтерра (§3). рассмотрим однородную систему уравнений вида
(IM1 (1Т
= T1M1(M2-M3).
(4.3)
Однородные асимптотические решения (4.3) будем искать в виде
Mk = Щ-. (4.4)
Отметим, что такие решения используются в методе Ковалевской для построения полиопараметрического лораповского разложения. Нетривиальные решения такого вида возможны только при условии Gi + а2 + а3 = 0. Если это условие выполняется, то решение может быть записано в виде
С - о,2
Г С
M1 = ^r, M2 = -
(I3
M3 =
(4.5)
где С — произвольная постоянная.
Решение (4.5) уже является полнопараметрическим и содержит только коллапсирующие и разбегаюшиеся (для плоскости) траектории. Однако, существует еще особое решение M1 = M2 = M3 = const, описывающее томсоповские конфигурации, которые в этом случае являются вырожденными. Пользуясь соотношением
,. InM1M2M3 , at = -д-ат,
(4-6) 304
Глава Ji
можно получить асимптотику решения (4.5) в реальном времени 1. для плоскости: t = , Mi = Cft;
2. для сферы: t = AR2 ( 1 - Jl - 1 .
TR2
Mi = DiR2 Il-U--^'
где А, В, С*, D, Di = const. Для сферы абсолютное движение вихрей при условиях D = OhS = O заключается в разбегании вихрей из одной точки до момента достижения экватора и дальнейшем сближении в другой точке.
Проанализируем возможность коллапса в системе трех вихрей на плоскости в общем неоднородном случае. Записывая необходимое условие коллапса D = Ob абсолютных переменных (§ 1)
(^ri)/-P2-Q2 = O, (4.7)
находим, что выделяется два случая Г,; = 0 и Г,; ф 0. Без ограничения общности положим
Т3=а3 = -1, oi, о2, Гі, Г2 > 0, (о; = 1/Гг).
Из условия Y^1 Г» = 0 следует P = Q = 0. Это означает, что третий вихрь находится в центре завихренности первых двух вихрей, вращающихся равномерно с частотой
2тг M12 \ ^ Y2^ Y1)' вокруг точки с радиус-вектором
_ Г'іП+іу2 (Гі+Г2)2 (Гі+Г2)2
Г Г [+Y12 ¦ Гі~Гі Y1 ' Гз~Г2 Y2 '
где M12 — квадрат расстояния между первым и вторым вихрями, a Vi, Yi — соответствующие им радиус-векторы и интенсивности. Следовательно, коллапс при нулевой суммарной интенсивности невозможен. § 3. Движение трех вихрей. Общий компактный случай 305
При условии ЕГі Ф 0 коллапс возможен лишь при условии некомпактности алгебры вихрей А = аіО,2 -(I1-Ci2 < 0, поскольку в компактном случае симплектический лист (сфера) не проходит через начало координат М; — 0.
Для нахождения достаточных условий коллапса рассмотрим проекцию траекторий на плоскость Mi,M2. Выразим M3 из интеграла полного момента (при D = 0)
M3 = ai Ml + а2М2. (4.8)
Физическая область на плоскости M1, M2 при D = 0 ограничена прямыми, проходящими через ноль и имеющими коэффициенты наклона
^= (If^3).
Траектория регуляризованной системы определяется соотношением (4.8) и уравнением для энергии системы, которое можно представить в виде
M1
1M2 U2(aiMi + а2М2) = C = const.
(4.10)
Анализ уравнения (4.10) показывает, что при различных значениях параметров «і,«2 существует три типа траекторий:
1°. а\ + «2 < 1 — все траектории компактны, имеют вид петель, выходящих из начала координат, касаясь осей OMi и OM2 (рис. 41, е);
2°. а± + а2 > 1 — все траектории некомпактны, уходят на бес-
условгіе рассеяния
Рис. 49
конечность, асимптотически касаясь осей OM1 и OM2 (рис. 41, Ь);
3°. ai + а2 = 1 — все траектории являются прямыми линиями, выходящими из начала координат под разными углами (рис. 41, h). 306
Глава Ji
Отметим на плоскости параметров «і.аг области, соответствующие данным типам траекторий (рис. 49).
Необходимо отмстить па этой плоскости также значения параметров, характеризующих различный вид физической области. Согласно (4.10), физическая область при «і ф 1,а2 ф 1 (таких, что А < 0) представляет собой внутренность острого угла, целиком расположенного внутри квадранта M1 > 0,M2 > 0. Если ci1 = 1 (а2 = 1), одна из сторон физической области совпадает с осью OM2 (OM1). В случае «! = «2 = 1 движение разрешено во всем квадранте M1 > О, M2 > 0.
Сравнивая возможные типы траекторий (при А < 0, D = 0) с типами областей движения с учетом того, что при достижении границы двигается по той же траектории в обратном направлении, заключаем:
• В системе трех вихрей возможен уже изученный однородный коллапс (разбегание), при этом между обратными интенсивностями выполняется соотношение cl1 + «2 = 1.
• Рассеяние вихрей возможно лишь при условиях O1 = 1, а2 = 1, ai = а г = 1 (в последнем случае вихри при движении никогда не проходят через коллинеарную конфигурацию).
• При других значениях обратных интенсивностей а,- движение вихрей заключено между двумя коллинеарными конфигурациями, а расстояние между ними ограничено (см. рис. 41,Ь,с).
