Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
4. существование статических конфигураций на сфере.
§ 4. Движение трех вихрей. Некомпактный случай. Проблема коллапса и рассеяния
1. Движение на плоскости. Рассмотрим движение вихрей па плоскости при условии
А = (Iiffl2 + «газ + а±а3 =? 0. (4.1)
В этом случае алгеброй скобок Пуассона при А < 0 является алгебра M © ао(2,1), а в случае A = O — разрешимая алгебра. Как указано в § 3, симплектический лист в обоих случаях является некомпактным (в первом случая — гиперболоид, во втором — параболоид), а траектории изображающей точки на нем могут быть как финитными, так и ипфипитпыми (то же самое относится к динамике трех вихрей в относительных расстояниях). Во втором случае говорят о рассеянии вихрей.
Рассмотрим сначала случай А < 0. Без ограничения общности можно положить Г2,Гз > 0, Гі < 0, —Гі < Г2 + Г3. Из формулы
А2=-3^з(аі+а2 + аз)3 (42)
для коэффициента устойчивости томсоновских конфигураций следует, что устойчивость такой конфигурации в линейном приближении при различных D определяется величиной суммы обратных интенсивностей S = Поэтому разберем отдельно три случая, соответствующих значениям S > 0, S < 0, и S = 0. § 3. Движение трех вихрей. Общий компактный случай
295
Рис. 41. Геометрическая интерпретация при различных значениях параметров A, S, D. Темным цветом обозначена область положительных значений Mk > 0, для которой Д2 > 0.
Геометрическая интерпретация и бифуркационные диаграммы для различных характерных комбинаций параметров A, S и D приведены соответственно па рис. 41 и рис. 30.
Случай А < 0 и S > 0. Геометрическая интерпретация показывает, что в этом случае при D 0 возможны лишь финитные движения, при которых траектория на плоскости интеграла полного момента ограничена с обоих сторон соотношением A2 > 0 (рис. 41, а, Ь).
Бифуркационная диаграмма (рис. 43, а) при этом содержит лишь одну коллинеарную конфигурацию. По сравнению с компактным случаем меняется также тип устойчивости: устойчивые при положительных иптспсивпостях томсоповскис конфигурации — становятся неустойчивыми (рис. 43, а)), а коллинеарные конфигурации устойчивы. Как томсоповскис, так и коллинеарные решения определены только в области D > 0 (рис. 41,с). При положительных значениях полного момента воз- 296 Глава Ji
b) А < U и S < 0; с) А < 0 и S = U; d) А = О и S > U.
можны как финитные, так и инфинитные движения. В силу неустойчивости томсоповского решения, допустимы решения с любой положительной энергией.
Случай А < 0 и S < 0. При этом для любых значений полного момента движение является финитным (рис. 41,d—f). Томсоновские и коллинеарные решения определены только при D < 0 и замечательны тем, что энергия всех конфигураций стремится к бесконечности при уменьшении абсолютного значения полного момента до нуля (см. рис. 42, Ь). Кривая томсоновских конфигураций лежит выше кривой коллинеарных и ограничивает сверху область возможного движения. Они соответственно устойчивы и неустойчивы в линейном приближении (рис. 43, Ь).
Случай А < 0 и S = 0. При значениях D < 0 возможно касание траекторией границы области, что соответствует устойчивой (см. рис. 43,с) коллинеарной конфигурации (рис. 41,с), энергия кото- § 3. Движение трех вихрей. Общий компактный случай 297
S > U; b) А < О и S < U; с) А < О и S = 0; d) А = О и S > О.
рой при уменьшении D стремится к нулю (рис. 42, с). Томсоновские решения присутствуют только при D = 0, являются вырожденными, их равновесие — безразлично (Л2 = 0), а сами они возможны при любых расстояниях между вихрями и заполняют целую прямую (жирная линия на рис. 41, h). Зависимость угловой скорости от расстояния между вихрями также определяется формулой (3.31).
Прямая, соответствующая томсоновским конфигурациям, разделяет области рассеивающего и коллапсирующего поведения трех вихрей. Под «коллапсом» понимается процесс одновременного столкновения (в данном случае, трех) вихрей. Более подробный анализ возникновения коллапса приведен далее.
При D ф 0 финитные движения присутствуют при любом значении момента, а инфинитные появляются только при отрицательных значениях.
Зависимость угловой скорости вращения как томсоновских, так и коллинеарных конфигураций в первых двух случаях (рис. 41, a f) 298
Глава Ji
E1 / а)
А І/ Ji і / Y ,/ нефизическая область
'd, 0 d2 'dT D
E1 I k I
с) I
нефизическая j I
область /
/ / нефизическая
/ область
'сI1 'dz 0 D
Ъ) і J / і E I I !
d, ,,E ч d) I I :/7 / / /7 I / / 0 D
0 d2 d2 dT D
Рис. 44. Бифуркационные кривые на сфере для случаев а) А < 0 и S > 0; Ь) Л < 0 и S < 0; с) А < 0 и 5 = 0; d) і = 0 и S > 0.
качественно одинакова и задается монотонно спадающими, при увеличении абсолютного значения момента, функциями. Для случая S = 0 угловая скорость вращения коллинеарной конфигурации медленно увеличивается с ростом абсолютного значения D.
Последний случай, соответствующий некомпактному движению вихрей, возникает при условии A = O (разрешимая алгебра). Движение возможно только при положительных значениях D, при которых существуют только две стационарных конфигурации одна томсонов-ская (при этом вихри движутся поступательно) и одна коллинеарнал (рис. 42, d). При D = 0 три вихря располагаются на одной прямой, причем каждый вихрь располагается в центре завихренности двух остальных. Это является следствием возможности сведения задачи п+1 вихря к п вихрям, рассмотренной в § 5.
