Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
Поведение угловой скорости вращения коллинеарных конфигураций от момента D является достаточно сложным (39). На монотонное спадание графиков, характерное для плоского случая, накладывается их слияние, что приводит к достаточно запутанным кривым. Стоит отметить большую величину угловой скорости, возникающую в момент рождения нового вихря из задачи двух вихрей. В рамках принятой модели это увеличение угловой скорости относится к разным траекториям, по если присутствует «слабая» диссипация и константы энергии и момента медленно эволюционируют, то их возможно наблюдать и для конкретного движения (при этом в системе происходит также скачки давления). Конечно, дополнительным условием наблюдаемости таких эффектов в физической ситуации является устойчивость соответствующих стационарных движений.
Увеличение угловой скорости можно объяснить тем, что при рождении пары вихрей из одного возникает коллинеарная конфигурация, вращающаяся вокруг оси, проходящей через третий вихрь. Этот вихрь практически не оказывает никакого влияния на это вращение, а зависимость угловой скорости от расстояния для пары вихрей дастся формулой (3.31). 292 Глава Ji
а- a) D A2 \ \ b) D
у cij d2 d^d„ і I і I ! і / I d=d, Ґ dTds і і і
і і л1 і I і і c) I Ik2 \ \ і I I d)
D \ 4. D
/ } I I dt—d,—d3 dT d / I і d2.-dT' '\ d:i ' / / 1 I I J
Рис. 40. Коэффициент устойчивости для случаев а) различных положительных интенсивностей; Ь) положительных интенсивностей (две совпадают); с) равных положительных интенсивностей; d) одной отрицательной интенсивности.
Как видно из рис. 40, коллинеарные конфигурации, происходящие из аналогичных конфигураций на плоскости, неустойчивы уже в линейном приближении. Однако коллинеарные конфигурации, появляющиеся из задачи двух вихрей, являются устойчивыми. Природа этой устойчивости хорошо видна из геометрической интерпретации, представленной на рис. 37. Возможно, что явления такого сорта, происходящие в атмосфере Земли (заведомо обладающей диссипацией), ответственны за возникновение различных катастрофических процессов (типа ураганов), сопровождающих резкие перестройки динамики вихревых образований. Обратный процесс, приводящий к коллапсу (слиянию) двух вихрей, невозможный для модели идеальной жидкости, в случае небольшой диссипации и уменьшения D может приводить к образованию атмосферных вихрей с большой угловой скоростью вращения. § 3. Движение трех вихрей. Общий компактный случай
293
Томеоновские решения являются устойчивыми до момента прохождения через статическую конфигурацию. Аналогом формулы (3.32) для томсоновских конфигураций на сфере является выражение
,2 Д~ЗД2(аі +а2 + аз) , , , , ,„ /10,
А =--аіа2а3(аі + а2 + аз), (3.42)
которое показывает, что томсоновская конфигурация неустойчива при значении момента
D > ЗД2(аі + а2 + а3), (3.43)
соответствующего максимальному значению момента для таких конфигураций. Интересно заметить, что формула (3.43) определяет также условия существования статических конфигураций на сфере. Для этого неоходимо, чтобы Па^Е"» > 0 (устойчивость конфигурации). Геометрическая интерпретация на рис. 37 иллюстрирует возможность достижения M своего экстремального движения.
Вопрос об устойчивости статической конфигурации не может быть решен при помощи линейного приближения (как для относительного, так и абсолютного движения). Исследование статических конфигураций N вихрей равной интенсивности, расположенных на экваторе, приведено в приложении G [29].
Заметим, что возможны также пространственные статические конфигурации, когда вихри расположены в вершинах Платоновых тел (тетраэдр, куб и пр., см. также § 5) [50, 47].
Для случая одной отрицательной интенсивности (Гі < 0, —Г і > > Г2 + Гз) бифуркационная диаграмма приведена на рис. 34, d. В этом случае поведение бифуркационных кривых при увеличении D аналогично поведению в уже рассмотренных ситуациях. Существующие в случае плоскости томсоновская и коллинеарная конфигурация сливаются в точке А (см. рис. 34,(1), а затем по мере увеличения D исчезают, слившись с одной из коллинеарных веток, родившихся из задачи двух вихрей. Отличие от случая только положительных интенсивностей проявляется в существовании коллинеарных решений, не ограниченных по энергии сверху. Эти решения появляются также благодаря стационарным конфигурациям задачи двух вихрей. Все коллинеарные конфигурации в данном случае являются устойчивыми, в то время как томсоновская — неустойчива (рис. 40). Изменение параметров абсолютного движения вихрей качественно ничем не отличается от случая положительных интенсивностей. 294
Глава Ji
В заключение параграфа явно выделим основные отличия сферического случая от плоского, возникающие при увеличении полного момента D:
1. слияние томсоновских и коллинеарных конфигураций на сфере;
2. рождение устойчивых коллинеарных конфигураций из задачи двух вихрей, вращающихся с большой (бесконечной) угловой скоростью в момент появления:
3. наклон и эволюция плоскости томсоновских конфигураций;
