Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
Замечание 9. Как и в случае плоскости нас интересуют только положительные корни уравнений (3.41). Кроме того, заметим, что область значений функций, определяемых интегралами энергии и момента ограничены сверху значениями dm и Em
j _ 2 (ei«2 + «газ + аіаз)2 dm - Ш U1U2U3 '
Em = (4Д2)Еа* TT ( -«і+«2+«з--
\«i + «2 + аз + U1U2UzIak
В последнем случае соответствующее значение полного момента вычисляется по формуле
dm = (4Д2)(ві +e2 +(I3)^
Uk
(ai + U2 + из + UiU2Uz/ик)
В качестве начального приближения для решений уравнений (3.41) при малых значениях полного момента выбирались корпи уравнений (3.30). Продолжение бифуркационных кривых при возрастании момента (взаимных расстояний) производилось предиктор-корректорным методом с использованием итерационной процедуры Ньютона.
С помощью численных расчетов для каждого набора интенсивностей, при которых построены бифуркационные диаграммы, могут быть получены другие характеристики относительного и абсолютного движения (величина угловой скорости, угол наклона плоскости вихрей по отношению к оси вращения, квадрат собственного значения, определяющий устойчивость линеаризованной системы).
Замечательным эффектом сферического движения вихрей, отсутствующим в плоском случае, является рождение новых (и в рассматриваемом случае устойчивых) коллинеарных конфигураций из задачи двух вихрей. Так при увеличении D происходит распад одного вихря суммарной интенсивности Гг+Г,- па два с иптепсивпостями Tj и Tj-. Как показано на рис. 37, при дальнейшем увеличении D эти конфигурации стремятся слиться с коллинеарными конфигурациями, получающимися при продолжении по параметру из плоской задачи (при малых D/R2), а затем перестают существовать. § 3. Движение трех вихрей. Общий компактный случай 289
а) Ъ)
Рис. 37. Геометрическая картина рождения коллипеарных решений из задачи двух вихрей. Последовательные рисунки а), Ь), с) показывают изменение точек касания границы физически допустимой области при увеличении полного момента. Обозначения соответствуют рис. 30.
Рассмотрим бифуркационную диаграмму для случая Гі ф Г2 ф Г з Ф 14 (см. рис. 34,a). Томсоповскис конфигурации (штрихпупктир-ная кривая) существуют лишь при энергиях E ^ Et• При D = йт, достигнув максимально возможного значения Ет < Em, томсонов-ская конфигурация сливается (точка А) с коллинеарной конфигурацией, определяемой наиболее нижней из веток (рис. 31, а бифуркационной диаграммы для плоскости). При этом все три вихря лежат в экваториальной плоскости, но расстояние между ними не равны друг другу. Проходя через максимум энергии Em при D = dm, эта конфигурация в дальнейшем эволюционирует по мере увеличения D к задаче двух вихрей (при D = dz). Две другие коллинеарные конфигурации, соответствующие двум верхним сплошным кривым рис. 31, а, для плоскости, сливаются с коллинеарными конфигурациями, возникающими из задачи двух вихрей при значениях момента d\,d2 (распад одного вихря). Такие возникающие конфигурации отсутствуют в случае плоскости. Их появление становится понятным из рис. 37, на котором показан отрыв физической области от границ Mk = 0.
В случае, когда выполнено соотношение Гі = Г2 ф Гз, в точке А происходит слияние не только томсоновской и коллинеарной веток, ана- 290
Глава Ji
LCf
л 2
О
D
cL d,
Рис. 38. Зависимость углов наклона нормали к плоскости вихрей по отношению к оси вращения для коллинеарных (сплошная линия) и томсоновских (штрихпунктирная) конфигураций в случае различных положительных интенсивностей
со
а)
IL т V
\\ V Ъ)
1 D
CL1 drdH=d2
Рис. 39. Угловые скорости для случаев а) различных положительных интенсивностей; Ь) положительных интенсивностей (две совпадают); с) равных положительных интенсивностей; Ь) одной отрицательной интенсивности.
логичных случаю плоскости, но и коллинеарной конфигурации, возникающей при D = di = с?2 (см. рис. 34, Ь).
Наконец для трех равных интенсивностей все возможные конфигу- § 3. Движение трех вихрей. Общий компактный случай 291
рации сливаются вместе в точке А при максимальном значении энергии E = Em = Et и момента D = dx-
В абсолютном движении при увеличении момента (взаимных расстояний) угловая скорость вращения томсоновских конфигураций монотонно уменьшается (см. рис. 39), а угол наклона нормали треугольника к оси вращения монотонно возрастает от нуля (как для плоскости) до значения тг/2 в момент слияния томсоновских и коллинеарных конфигураций (рис. 38) за исключением случая равных интенсивностей, когда наклон оси вообще не изменяется.
замечание 1U. Единственно возможными стационарными конфигурациями (то есть конфигурациями, при которых расстояние между вихрями не меняется) являются вращения вокруг некоторой неподвижной оси. Это следствие представимости уравнений вихревой динамики в виде уравнений первого порядка относительно динамических переменных. При этом, если три вихря находятся в экваториальной плоскости, то вектор угловой скорости всегда лежит в этой плоскости.
В отличие от томсоновских конфигураций, ось вращения для коллинеарных конфигураций всегда лежит в плоскости вихрей и не меняется ни при каких значениях момента.
