Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Борисов А. -> "Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике" -> 90

Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.

Борисов А. , Мамаев И.С. Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике — Удмуртский университет, 1999. — 470 c.
Скачать (прямая ссылка): puassonistrukturiialgebri1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 84 85 86 87 88 89 < 90 > 91 92 93 94 95 96 .. 144 >> Следующая


Замечание 6. Аналогия с системой Лотки Вольтерра является очень полезной при изучении проблемы коллапса вихрей и родственна регуляризации Волина в задаче Кеплера [4] (с тем отличием, что не фиксируется постоянная уровня энергии). Вопросы регуляризации столкновения вихрей (коллапса), возникающие только в некомпактных случаях, будут разобраны в следующем параграфе.

Замечание 7. Вопрос сведения задачи трех вихрей на сфсрс к канонической гамильтоновой системе с одной степенью свободы является довольно сложным. Если пользоваться канонической формой записи (см. § 2), то получается шестимерная гамильтонова система, имеющая в качестве интегралов функцию Гамильтона и некоммутативный набор интегралов момента, каждый из которых является нелинейной функцией фазовых переменных (в отличие от случая плоскости, рассмотренного в [258]).

Канонизация редуцированной системы в переменных (М, Д) равносильна введению координат Дарбу на двумерном симплектическом листе, определяемом общим уровнем функций Казимира. Опишем подробнее алгоритм построения таких координат для случая равных интенсивностей (см. также приложение Н). Обобщение для различных интенсивностей не представляет принципиальных трудностей.

Наиболее простой вид скобка (3.3) имеет в случае трех равных интенсивностей на нулевом уровне линейной функции Казимира D = 0. После пс- 286

Глава Ji

рехода (для линеаризации скобки (2.16)) к каноническому базису (по классификации Бьянки [61]), скобку (2.16) можно представить в виде

{ei,e2} = е3 + - el),

{е2, ез) = Єї, {ез, Єї) = Є2

(3.37)

R

Є2Єз-

Любопытно отметить, что нелинейные слагаемые, входящие в скобку (3.37), аналогичны членам, возникающим в интеграле Ковалевской уравнений Эйлера Пуассона.

Симплектические координаты для пуасссоновой структуры (3.37) построим следующим образом. Выберем в качестве переменной действия L — еь Из условия {7, L) = 1 следует, что угловая переменная является параметром времени вдоль интегральной кривой гамильтонова векторного поля:

de 2 г Г1 1/2 2\

^r = {Є2, L) = -ез - ^(е3 - е2),

dl de з dl

= {e3, L} = e2

(3.38)

R

Є2ЄЗ-

Для интегрирования (3.38) воспользуемся функцией Казимира

Fr 2 і 2 і 2 і 1 2 1 2

= L + е2 + е3 + —е3 - дбгез.

(3.39)

Разрешая соотношение (3.39) на уровне F — С и полагая х — ег, у — ез, получим

Рис. 36. Деформация сечения симплектического листа для линеаризованной алгебры вихрей на сфере в зависимости от изменения ее радиуса кривизны



ФL (У) dy

\?

(3.40)

Ыфь(у) 1

Фь(у) = С-Ь2-у2-^у3.

Таким образом симплектические координаты скобки (3.37) даются обращением эллиптического интеграла (3.40) и при R —> эс переходят в обычные выражения (3.33).

Одно из главных сечений симплектического листа для случая Ti=T2 = = Гз показано на рис. 36 в зависимости от кривизны к — IjR. При к — 0, § 3. Движение трех вихрей. Общий компактный случай 287

симплектический лист определен алгеброй so(3) и является сферой. Изменение к приводит к поверхности, связная компонента которой гомеоморфна сфере. Интересно было бы исследовать топологию симплектического листа при различных значениях интенсивностей и значениях интеграла момента D, который принимает значения в ограниченной области. Последнее соображение позволяет отбросить некомпактные компоненты симплектических листов, так как движение па сфере всегда финитно.

Замечание 8. Нелинейная алгебра скобок Пуассона (2.7) не может быть изучена столь же подробно, как в плоском случае. Линейная аппроксимация этой структуры способна сделать некоторые качественные выводы лишь для ситуации близкой к одновременному коллапсу (то есть когда расстояние между вихрями является малым по отношению к радиусу кривизны). Из этого, тем не менее можно сделать вывод о том, что необходимые условия одновременного коллапса вихрей на плоскости также справедливы и для случая сферы, так как влияние нелинейных членов вблизи коллапса пренебрежимо мало.

Общим приемом приведенной ниже классификации движений вихрей на сфере является продолжение по параметру полного момента стационарных конфигураций, известных вблизи D = 0. В последнем случае влияние кривизны пе значительно, что соответствует уже изученной плоской задаче (это также эквивалентно рассмотрению линейной аппроксимации структуры (2.16)).

Условия для томсоновских конфигураций на сфере аналогичны условиям на плоскости

M1 = M2 = M3.

Условия существования коллинеарных конфигураций (А = А = 0) в случае сферы сводятся к системе из трех алгебраических уравнений. Вводя константы

аі=Г3 + Г2, а2 = Гі + Гз, а3 = Г2 + T1, ?i =T3-T2, ?2 =T1-T3, ?3 = T2 -T1,

запишем систему уравнений в виде

2(M1M2 + M1M3 + M2M3) - (M12 +Mi + Ml) - МіМ|Мз = О, U1M1 + а2М2 + а3М3 D = 0,

(M3-M2) (M1-M3) (M2-M1) 2{ai M1 + а2 M2 + аз M3 +

(/J1M1 + ?2M2 + ?3M3)-±- = О, (3.41)

К 288

Глава Ji

где D — постоянная интеграла момента. Система (3.41) может быть решена численно. Результаты численного построения бифуркационных диаграмм для случаев различных соотношений интенсивностей представлены па рис. 34.
Предыдущая << 1 .. 84 85 86 87 88 89 < 90 > 91 92 93 94 95 96 .. 144 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed