Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
Глава Ji
Рис. 33. Фазовая плоскость для случаев: а) положительных равных интенсив-ностей; Ь) случай ві = «2 ф аз; с) трех положительных различных интенсивностей; d) одной отрицательной интенсивности.
Фазовый портрет в канонических координатах описывает движение изображающей точки (L,l) по поверхности двумерной сферы. Импульс L имеет смысл ориентированной площади параллелограмма, построенного на трех вихрях (L = 2Д). Развертка фазового портрета представлена на рис. 33, a-d для четырех различных конкретных случаев соотношения интенсивностей вихрей.
Приведенные рисунки иллюстрируют аналогию между движением трех вихрей и динамикой твердого тела. Сравнивая рис. 33, а (в случае равных интенсивностей) с фазовым портретом задачи Эйлера—Пуапсо (см., например, [5, 28]), можно связать коллинеарные конфигурации (лежащие на прямой L = 0) с неустойчивыми перманентными движениями твердого тела вокруг средней оси эллипсоида инерции, томсонов-ские решения (при которых LfG=I) — с вращениями вокруг большой (малой) оси эллипсоида инерции. Периодические решения задачи двух вихрей (два из трех вихрей всегда находятся в одной точке, а их интенсивности складываются), лежащие на прямой L = 0, можно связать с устойчивыми перманентными вращениями вокруг малой (большой) оси эллипсоида инерции. При прохождении системой коллинеарного поло- § 3. Движение трех вихрей. Общий компактный случай 283
ласть A2(Mi, M2, Mz) > 0. Движение вихрей происходит только по этой части, поскольку при подходе траекторий границы области (и достижении вихрями коллинеарного состояния) в уравнениях (3.9) необходимо изменить знак времени. Вид этой области несколько различен для плоскости и сферы (формулы (3.11) и (3.36)) и представлен на рис. 35.
Рис. 35. Геометрическая картина изоморфизма задачи трех вихрей и задачи Лоттки—Вольтерра. Часть фазовой плоскости задачи Лоттки—Вольтерра, ограниченная контуром, соответствует физической области задачи трех вихрей: а) на плоскости; Ъ) на сфере. Значения интенсивностей в обоих случаях одинаковы.
Замечание 6. Аналогия с системой Лотки—Вольтерра является очень полезной при изучении проблемы коллапса вихрей и родственна регуляризации Болина в задаче Кеплера [4] (с тем отличием, что не фиксируется постоянная уровня энергии). Вопросы регуляризации столкновения вихрей (коллапса), возникающие только в некомпактных случаях, будут разобраны в следующем параграфе.
Замечание 7. Вопрос сведения задачи трех вихрей на сфере к канонической гамильтоновой системе с одной степенью свободы является довольно сложным. Если пользоваться канонической формой записи (см. §2), то получается шестимерная гамильтонова система, имеющая в качестве интегралов функцию Гамильтона и некоммутативный набор интегралов момента, каждый из которых является нелинейной функцией фазовых переменных (в отличие от случая плоскости, рассмотренного в [258]).
Канонизация редуцированной системы в переменных (М, Д) равносильна введению координат Дарбу на двумерном симплектическом листе, определяемом общим уровнем функций Казимира. Опишем подробнее алгоритм построения таких координат для случая равных интенсивностей (см. также приложение Н). Обобщение для различных интенсивностей не представляет принципиальных трудностей.
Наиболее простой вид скобка (3.3) имеет в случае трех равных интенсивностей на нулевом уровне линейной функции Казимира D = 0. После пе-
У v
¦У 284
Глава Ji
Рис. 34. Бифуркационные диаграммы для случаев: а) различных положительных интенсивностей; Ь) положительных интенсивностей (две совпадают); с) равных положительных интенсивностей; d) одной отрицательной интенсивности. Обозначения кривых совпадают с рис. 31.
(кубичная) имеет вид
F = (2А)2 + (M2 + M22 + M2) -
1 (3.36)
- 2(MiM2 + MiM3 + M2M3) + -MiM2M3 = О
Rz
и гамильтонианом (3.5).
Геометрическая интерпретация для плоскости, представленная на рис. 30, может быть также псрспссспа на сферу. Любопытным фактом является то, что фазовые траектории в переменных Mi,M2,M3 для случая сферы и плоскости, при заданных !інтенсивностях, совпадают с фазовыми траекториями системы Лотки—Вольтерра (3.9). При этом основные эффекты в динамике вихрей определяются тем, какая часть фазовых траекторий системы Лотки—Вольтерра попадает в об- § 3. Движение трех вихрей. Общий компактный случай
285
ласть A2 (M1, m2, Мз) > 0. Движение вихрей происходит только по этой части, поскольку при подходе траекторий границы области (и достижении вихрями коллинеарного состояния) в уравнениях (3.9) необходимо изменить знак времени. Вид этой области несколько различен для плоскости и сферы (формулы (3.11) и (3.36)) и представлен на рис. 35.
10
а)
10
10
'У
X
..... О...... .....Ъ) 10 .........
Рис. 35. Геометрическая картина изоморфизма задачи трех вихрей и задачи Лоттки—Вольтерра. Часть фазовой плоскости задачи Лоттки—Вольтерра, ограниченная контуром, соответствует физической области задачи трех вихрей: а) на плоскости; Ъ) на сфере. Значения интенсивностей в обоих случаях одинаковы.
