Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
Д = 0, Д = 0, (3.27)
которые приводят к решениям, имеющим одну и ту же степенную функциональную зависимость, и в общем виде может быть представлена как
h(D) = /(ai, a2, a3)I>(ni+na+na), (3.28)
где /(ai, а2, аз) некоторая функция от параметров. Переходя к однородным координатам х, у
M1=XM3, M2= у M3,
X = Z2, у = (1 + х)2
(3.29)
находим, что коллинеарным конфигурациям соответствуют положительные корни этих уравнений третьей степени
ai(l ± z){z ± 2) + а2(( 1 ^ ф - а3( 1 ± 2z)z(l ± z) = 0, (3.30)
где
аі=Г2+Г3, а2=Гі+Г3, аз = Гі+Г2.
Траектории касаются границ области физически возможного движения Д = 0 в пространстве переменных (M1, M2, M3) при изменении !інтенсивностей различным образом (рис. 30). В зависимости от § 3. Движение трех вихрей. Общий компактный случай
279
этого количество бифуркационных кривых также будет различно. В частности, в случае, когда все интенсивности не равны друг другу Гі ф Ф Гз ф Гі, будут существовать три ветви, соответствующие коллинеарным движениям (рис. 31, а). При равенстве двух из них, например, а\ = а.2 ф соответствующие две бифуркационные кривые сливаются. И, наконец, в случае равных интенсивностей а і = «2 = яз все три кривые вырождаются в одну.
нефизическая область
Ь)
D
Рис. 31. Биффуркационные кривые на плоскости для случаев: а) трех различных положительных интенсивностей и Ь) одной отрицательной интенсивности.
Вычисление угловой скорости томсоновских и коллинеарных конфигураций относительно центра завихренности приведено, например
в [117]
"=Ш= (ЕГ2^Еа^ Mi = M> < = 1'2'3- ^
Она монотонно убывает при увеличении полного момента (3.10) системы вихрей.
В качестве меры устойчивости стационарных конфигураций можно припять квадрат нетривиального собственного значения A2 линеаризованной системы уравнений движения трех вихрей (устойчивость относительного движения!). Для томсоновских конфигураций несложно получить явную формулу
A2 = -3aia2a3(ai + a22+a3)3> (3.32) 280
Глава Ji
которая показывает, что в случае положительных !інтенсивностей они устойчивы, в отличие от коллинеарных, которые (как видно из рис. 32, а) неустойчивы.
U2 *
D
Ъ)
Рис. 32. Зависимость квадрата собственного значения, определяющего устойчивость в линейном приближении от интеграла полного момента для стационарных конфигураций в компактном случае а) при трех различных положительных интенсивностях; б) одной отрицательной интенсивности.
Вообще говоря, справедливо следующее утверждение, подтверждаемое геометрической интерпретацией на рис. 30: если томсоновское решение устойчиво, то соответствующий набор коллинеарных решений неустойчив, и наоборот.
Поэтому условие (3.32) определяет тип устойчивости не только томсоновских, но и коллинеарных конфигураций при заданном значении D.
Рассмотрим другой случай движения трех вихрей, при котором также выполнено условие (3.13). Предположим, что интенсивность одного из вихрей имеет противоположный знак по сравнению с двумя другими (например, Гі = I/o,і < 0). Условие (3.13) в этом случае означает, что —Гі < Г2+Г3, т. е. интенсивность выделенного вихря больше интенсивности двух оставшихся. Нетрудно видеть, что все остальные возможные случаи, при которых оно справедливо, сводятся к двум рассматриваемым (см. также §6 гл. 4).
Укажем только основные отличия этой задачи от предыдущей. Прежде всего из формулы (3.32) для томсоновских конфигураций следует, что они неустойчивы. Коллипеарпая конфигурация, соответствующая точке F (рис. 30, Ь) (их уже не три, а всего одна) при этом, наобо- § 3. Движение трех вихрей. Общий компактный случай
281
рот, является устойчивой (рис. 32, Ь). Бифуркационная кривая, соответствующая единственной коллинеарной конфигурации (см. рис. 31, Ь), находится над кривой, соответствующей томсоновской конфигурации (несложно показать, что при условии (3.13) полный момент всегда больше нуля), а область возможного движения совпадает со всем квадрантом D > 0, h > 0.
Симплектические координаты для вихрей на плоскости. Чтобы получить более полное представление о рассмотренных движениях, изучим фазовый портрет системы трех вихрей на плоскости в симплектических координатах.
В случае (3.13) симплектические листы представляют собой двумерные сферы (3.17), в качестве канонических координат удобно использовать цилиндрические координаты l,L (сохраним для них обозначения координат Апдуайс—Дспри, принятые в динамике твердого тела [4, 5]) для алгебры яо(3):
ei = L,
е2 = у7G2 -L2 sin L (3.33)
е3 = VG2-L2 cos i.
Выражения для переменных M1, M2, M3 в канонических координатах имеют вид
(ч + ли п , ч ГА Mi = 3 ^ + 2F(aj - (Ik)FJj-Sml +
^2 V (3.34)
АР
+ —=(aj(uj - щ) + ak(ak - щ)) cos I,
V B
где
A = (i\a2 + a2a3 + a3(zi, B = ((I1 - a2)2 + (a2 - a3)2 + (ffli - (I3)2, F = VG2 - L2.
В частном случае равных !інтенсивностей из полученных выражений (3.34) следует выражение для гамильтониана, приведенное в [188, 258]. В последней работе используется классический способ редукции к задаче с одной степенью свободы для произвольных иптсп-сивностей (типа исключения узла по Якоби). 282
