Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
(3.21)
В этом случае алгебра вихрей не разлагается в прямую сумму одномерной и трехмерной алгебр, а является четырехмерной разрешимой алгеброй с максимальным разрешимым идеалом N
N = {D,eue3}. (3.22)
Квадратичная функция Казимира, следующая из соотношения (3.11) имеет вид
G2 = е{ +e\-2De2. (3.23)
Реальная динамика вихрей происходит па симплектическом листе, задаваемом соотношениями G = QnD = const, которые определяют параболоид, проходящий через начало координат. При D = 0, являющимся необходимым условием коллапса (слияния вихрей), параболоид вырождается в прямую, совпадающую с осыо е3. 276
Глава Ji
Бифуркационный анализ движения вихрей на плоскости.
Опишем наиболее наглядную геометрическую интерпретацию движений, используемую в [327] и представленную па рис. 30. В пространстве Mi, M2, M3 уровень линейного интеграла момента (3.10) задает плоскость. Неравенства Mk > 0 выделяют на ней область, в которой происходит движение. Из этой области необходимо исключить нефи-зические значения расстояний, для которых невыполпепо неравенство треугольника (Д2 < 0). Эта область показана на рисунке черным цветом. При подходе к ней относительные скорости вихрей Mk стремятся к нулю. Поэтому удобнее воспользоваться регуляризованными уравнениями (3.7). После достижения кривой A2 = 0 в уравнениях (3.7) происходит смена знака и движение происходит по той же траектории в обратном порядке. Для абсолютного движения это соответствует зеркальному отражению траектории при прохождении через коллинеарные конфигурации.
Замечание 3. Описанная геометрическая интерпретация не эквивалентна движению изображающей точки по симплектическому листу, а смены направлений движения есть следствие особенностей проекции из пространства A, M1, M2, M3 в пространство Mi, M2, M3.
Пусть выполнено условие (3.13), и скобка (3.3) определяет алгебру К ® so(3). В этом случае симплектический лист компактен (§2), а движение вихрей финитно. Предположим, сначала, что знаки всех ин-тенсивностей одинаковы — в этом случае условие (3.13) заведомо выполнено. Первые интегралы движения вихрей на плоскости запишем в виде
(интеграл энергии, из соображений удобства, представлен в экспоненциальной форме). Интегралы (3.24) являются зависимыми, т.е. матрица Якоби первых интегралов (3.24) вырождена
только в одном случае: Mi = M2 = M3 (в трехмерном пространстве Mi, M2, M3 вихри образуют правильный треугольник). Решение в виде правильного треугольника появляется при касании поверхности h
D = aiMi + а2М2 + O3M3,
h = Mf1 м2аа м3аз,
(3.24)
(3.25) § 3. Движение трех вихрей. Общий компактный случай 277
и плоскости d в одной точке. Они ограничивают по энергии сверху область возможных движений (ОВД) и им соответствует бифуркационная кривая вида
( \ (11,1+11,2+113)
, . (3.26)
Cb1 + а2 + а3 j у j
Кривые, получающиеся при пересечении уровней интегралов (3.24) при уменьшении h аналогичны полодиям в динамике твердого тела (интерпретация Пуансо случая Эйлера) и являются, в компактном случае, овалами (рис. 30).
Рис. 30. Темная часть соответствует нефизической области на плоскости, задаваемой линейным интегралом D = const и ограниченной условиями Mk > 0, для компактного случая а) все интенсивности положительны: б) одна из иптепсивпостей отрицательна. Точка А соответствует томсоновским решениям; F — коллипеарным; В, С, D — точки, при которых два вихря слиты в один.
Замечание 4. Частные решения, соответствующие данной кривой — три вихря в вершинах правильного треугольника, вращающегося как твердое тело вокруг центра завихренности, называются «томсоновскими» и являются устойчивыми при выполнении условия (3.13). Дж. Томсон указал их для произвольного числа вихрей равных интенсивностей и показал, что в линейном приближении такие конфигурации будут устойчивы для числа вихрей N ^ 7, а при N > 7 — неустойчивы (теорема Томсопа) [117]. Однако из-за наличия резонансов в системе, линейное приближение не является достаточным. Устойчивости в нелинейном приближении с использованием нормализации Виркгофа для ЛГ Sj 6 была доказана Хазиным в [158]. Случай N = 7 требует отдельного исследования ввиду наличия дополнительных резонансов. Вопрос 278
Глава Ji
об устойчивости томсоповских конфигураций при N = 7 в нелинейном приближении остается открытым.
Другая смена типа движения происходит при касании линии пересечения уровней интегралов (3.25) с кривыми, определяемыми уравнением Д(Мі,М2,Мз) = 0 (л/Щ + y/Mj = л/Mk). возникающими из неравенств треугольников и ограничивающих физически допустимую область значений (см. рис. 30).
Точкам касания отвечают коллинеарные конфигурации трех вихрей. Три вихря при этом располагаются на одной прямой и вращаются как единое целое вокруг центра завихренности.
Замечание 5. Коллинеарные и треугольные конфигурации в динамике трех вихрей имеют аналоги в классической небесной механике [4]. Им соответствуют эйлеровы и лагранжевы частные решения проблемы трех тел.
Коллинеарные конфигурации находятся из условий касания
