Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
Ранг пуассоновой структуры (3.3) равен двум, и имеются две независимые центральные функции
D =U1M1 + а2М2 + а3М3,
F = (2Д)2 +M12+ M22 + Ml- (3-4)
- 2(M1M2 + M1M3 + M2M3) + ^-M1M2M3.
R,
Гамильтониан задачи трех вихрей
Я = -^-(Г2Г3 InMi + № InM2 + TiT2 InM3) (3.5)272
Глава Ji
генерирует фазовый поток:
Mi=-
A = -
(3.6)
Уравнения (3.6) обладают стандартной инвариантной мерой (divv = 0). Кроме того, они обладают тремя независимыми интегралами, поэтому система (3.6) является тригамильтоновой (см. § 5 гл. 1), для которой, как несложно проверить, две оставшиеся пуассоновы структуры являются дробпо-рациопальпыми.
Замечание 1. Вопрос о представлении уравнений движения трех вихрей в виде L-A пары со спектральным параметром пока остается открытым. Для такого представления имеются некоторые препятствия, вызванные тем, что естественное представление Лакса—Гейзенберга с рациональным спектральным параметром тесно связано с интегрируемостью в O-функциях ([241]), тогда как общее решение уравнений (3.6), вообще говоря имеет логарифмическое ветвление на комплексной плоскости времени.
Укажем на интересную аналогию между задачей о трех вихрях (на плоскости и па сфере!) и системой Лоттки—Вольтерра, возникающей в математической биологии [34]. Для этого представим уравнения (3.6) в виде
Mi
ГіД
Mi(Mj-Mk),
(3.7)
2ж M1M2 M3
если ввести регуллризующее время г:
dr _ _Д
(3.8)
dt 2ж M1M2M3
то для Mi получим уравнения типа Вольтерра (§4, гл. 5):
d^=-TiMi(Mj-Mk).
(3.9)§ 3. Движение трех вихрей. Общий компактный случай
273
При прохождении системой вихрей коллинеарного положения (Д = 0) знак в формуле (3.8) следует поменять, поэтому указанный траекторпый изоморфизм является, вообще говоря, кусочным. Из этой аналогии, в частности, следует, что системы трех вихрей на плоскости и сфере траєкторно кусочно-изоморфны.
2. Три вихря на плоскости.
Алгебраическая классификация. Скобка Пуассона задачи трех вихрей на плоскости может быть получена из (3.3) предельным переходом R —> оо.
Получившаяся скобка Ли—Пуассона является вырожденной и обладает двумя центральными функциями. Одна из них (линейная) — интеграл полного момента (3.4)
где ак = 1/Г*.
Другая (квадратичная функция Казимира) возникает из геометрического соотношения Герона, связывающего площадь треугольника с его сторонами
F = (2Д)2 + M12 + M22 + M32 - 2(M1M2 + M1M3 + M2M3). (3.11) Для реальных движений F = O.
Замечание 2. Для алгебр N вихрей (N > 3) формулы Геропа определяют лишь инвариантные соотношения, а не функции Казимира (§ 1).
Вещественный тип алгебры скобок Ли—Пуассона (3.3) зависит от значений интенсивностей Гі,Г2,Гз. Действительно, выберем новые образующие D, Єї, Є2, е3 в виде
(3.10)
к
А
е2 =
2VA'
(«2 - (I3)M1 + (d3 - (I1)M2 + ((I1 - (I2)M3
(3.12)
ез =
2 \/2 AB
(а2а3 - (I21)M1 + («!»з - (I22)M2 + («i«2 - (If)M3 4 AyfB
где
А = |ai?2 + а2аз + віа3|, В = (аі - а2)2 + (а2 - аз)2 + (ен - а3)2,274 Глава Ji
a D определено соотношением (3.10). При условии
(аі<г2 + а2а3 + аіа3) > 0 (3.13)
получаем, что вихревая алгебра разлагается в прямую сумму /(4) Ri ss Ж® so(3):
{D,ek} = 0, к = 1,2,3, {ei, е2} = е3, {е2, е3} = Єї, {е3, Єї} = е2,
(3.14)
а при условии
(aiu2 + CL2Ci3 + CLia3) < Q (3.15)
в прямую сумму Z(4) йі® so( 2,1):
{D,ek}= 0, к = 1,2,3, {Єі,е2} = -е3, {е2,е3} = еі, {е3,еі} = е2.
(3.16)
Хотя для равных интенсивностей коэффициент В = 0, с помощью предельного перехода нетрудно показать, что базис (3.12) может быть корректно определен и в этом случае.
Симплектический лист в вихревой алгебре /(4) двумерный и является поверхностью уровня функций (3.10) и (3.11). В новых образующих (3.12) функции Казимира имеют вид
D = const,
G2 = el+ el + el при условии (3.13), (3.17)
G2 = е3 - е2 - е\ при условии (3.15).
В связи с тем, что для реальных движений в (3.11) F = O, константы G, D связаны соотношением
G2 = J- (_-_^ 2 . (3.18)
16 \aia2 + а2и3 + aia3J
Таким образом, относительная динамика вихрей эквивалентна движению некоторой «изображающей» точки на симплектическом листе, который является либо двумерной сферой, либо одной из полостей двуполостного гиперболоида, определяемых уравнениями (3.17) и (3.18).§ 3. Движение трех вихрей. Общий компактный случай 275
В случае (3.13) движение изображающей точки (а стало быть трех вихрей в системе центра завихренности) при любых D является финитным, поэтому этот случай будем в дальнейшем называть компактным, а случай (3.15), при котором могут существовать разбегающиеся траектории — некомпактным.
Движения, возникающие при условии
(aia2 + а2а3 + aia3) = 0 (3.19)
требуют отдельного рассмотрения. В базисе U1M1 + а2М2 + аъМ3
D =
(ві + а2)
ei= А
2
е2
(ai + а2)' M3
(3.20)
С'З =
2(я,і + а2)'
(ai + а2 + а3)М3 - (M1 + M2)(ац + а2) 2(<ц +a2)2 '
скобки Ли—Пуассона алгебры вихрей приводятся к форме
{D,ek} = 0, {ei,e2} = e3, {єз, ei} = —D, {e2,e3} = eі.