Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Борисов А. -> "Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике" -> 86

Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.

Борисов А. , Мамаев И.С. Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике — Удмуртский университет, 1999. — 470 c.
Скачать (прямая ссылка): puassonistrukturiialgebri1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 80 81 82 83 84 85 < 86 > 87 88 89 90 91 92 .. 144 >> Следующая


Ранг пуассоновой структуры (3.3) равен двум, и имеются две независимые центральные функции

D =U1M1 + а2М2 + а3М3,

F = (2Д)2 +M12+ M22 + Ml- (3-4)

- 2(M1M2 + M1M3 + M2M3) + ^-M1M2M3.

R,

Гамильтониан задачи трех вихрей

Я = -^-(Г2Г3 InMi + № InM2 + TiT2 InM3) (3.5) 272

Глава Ji

генерирует фазовый поток:

Mi=-

A = -



(3.6)

Уравнения (3.6) обладают стандартной инвариантной мерой (divv = 0). Кроме того, они обладают тремя независимыми интегралами, поэтому система (3.6) является тригамильтоновой (см. § 5 гл. 1), для которой, как несложно проверить, две оставшиеся пуассоновы структуры являются дробпо-рациопальпыми.

Замечание 1. Вопрос о представлении уравнений движения трех вихрей в виде L-A пары со спектральным параметром пока остается открытым. Для такого представления имеются некоторые препятствия, вызванные тем, что естественное представление Лакса—Гейзенберга с рациональным спектральным параметром тесно связано с интегрируемостью в O-функциях ([241]), тогда как общее решение уравнений (3.6), вообще говоря имеет логарифмическое ветвление на комплексной плоскости времени.

Укажем на интересную аналогию между задачей о трех вихрях (на плоскости и па сфере!) и системой Лоттки—Вольтерра, возникающей в математической биологии [34]. Для этого представим уравнения (3.6) в виде

Mi

ГіД

Mi(Mj-Mk),

(3.7)

2ж M1M2 M3

если ввести регуллризующее время г:

dr _ _Д

(3.8)

dt 2ж M1M2M3

то для Mi получим уравнения типа Вольтерра (§4, гл. 5):

d^=-TiMi(Mj-Mk).

(3.9) § 3. Движение трех вихрей. Общий компактный случай

273

При прохождении системой вихрей коллинеарного положения (Д = 0) знак в формуле (3.8) следует поменять, поэтому указанный траекторпый изоморфизм является, вообще говоря, кусочным. Из этой аналогии, в частности, следует, что системы трех вихрей на плоскости и сфере траєкторно кусочно-изоморфны.

2. Три вихря на плоскости.

Алгебраическая классификация. Скобка Пуассона задачи трех вихрей на плоскости может быть получена из (3.3) предельным переходом R —> оо.

Получившаяся скобка Ли—Пуассона является вырожденной и обладает двумя центральными функциями. Одна из них (линейная) — интеграл полного момента (3.4)

где ак = 1/Г*.

Другая (квадратичная функция Казимира) возникает из геометрического соотношения Герона, связывающего площадь треугольника с его сторонами

F = (2Д)2 + M12 + M22 + M32 - 2(M1M2 + M1M3 + M2M3). (3.11) Для реальных движений F = O.

Замечание 2. Для алгебр N вихрей (N > 3) формулы Геропа определяют лишь инвариантные соотношения, а не функции Казимира (§ 1).

Вещественный тип алгебры скобок Ли—Пуассона (3.3) зависит от значений интенсивностей Гі,Г2,Гз. Действительно, выберем новые образующие D, Єї, Є2, е3 в виде

(3.10)

к

А

е2 =

2VA'

(«2 - (I3)M1 + (d3 - (I1)M2 + ((I1 - (I2)M3

(3.12)

ез =

2 \/2 AB

(а2а3 - (I21)M1 + («!»з - (I22)M2 + («i«2 - (If)M3 4 AyfB

где

А = |ai?2 + а2аз + віа3|, В = (аі - а2)2 + (а2 - аз)2 + (ен - а3)2, 274 Глава Ji

a D определено соотношением (3.10). При условии

(аі<г2 + а2а3 + аіа3) > 0 (3.13)

получаем, что вихревая алгебра разлагается в прямую сумму /(4) Ri ss Ж® so(3):

{D,ek} = 0, к = 1,2,3, {ei, е2} = е3, {е2, е3} = Єї, {е3, Єї} = е2,

(3.14)

а при условии

(aiu2 + CL2Ci3 + CLia3) < Q (3.15)

в прямую сумму Z(4) йі® so( 2,1):

{D,ek}= 0, к = 1,2,3, {Єі,е2} = -е3, {е2,е3} = еі, {е3,еі} = е2.

(3.16)

Хотя для равных интенсивностей коэффициент В = 0, с помощью предельного перехода нетрудно показать, что базис (3.12) может быть корректно определен и в этом случае.

Симплектический лист в вихревой алгебре /(4) двумерный и является поверхностью уровня функций (3.10) и (3.11). В новых образующих (3.12) функции Казимира имеют вид

D = const,

G2 = el+ el + el при условии (3.13), (3.17)

G2 = е3 - е2 - е\ при условии (3.15).

В связи с тем, что для реальных движений в (3.11) F = O, константы G, D связаны соотношением

G2 = J- (_-_^ 2 . (3.18)

16 \aia2 + а2и3 + aia3J

Таким образом, относительная динамика вихрей эквивалентна движению некоторой «изображающей» точки на симплектическом листе, который является либо двумерной сферой, либо одной из полостей двуполостного гиперболоида, определяемых уравнениями (3.17) и (3.18). § 3. Движение трех вихрей. Общий компактный случай 275

В случае (3.13) движение изображающей точки (а стало быть трех вихрей в системе центра завихренности) при любых D является финитным, поэтому этот случай будем в дальнейшем называть компактным, а случай (3.15), при котором могут существовать разбегающиеся траектории — некомпактным.

Движения, возникающие при условии

(aia2 + а2а3 + aia3) = 0 (3.19)

требуют отдельного рассмотрения. В базисе U1M1 + а2М2 + аъМ3

D =

(ві + а2)

ei= А

2

е2

(ai + а2)' M3

(3.20)

С'З =

2(я,і + а2)'

(ai + а2 + а3)М3 - (M1 + M2)(ац + а2) 2(<ц +a2)2 '

скобки Ли—Пуассона алгебры вихрей приводятся к форме

{D,ek} = 0, {ei,e2} = e3, {єз, ei} = —D, {e2,e3} = eі.
Предыдущая << 1 .. 80 81 82 83 84 85 < 86 > 87 88 89 90 91 92 .. 144 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed