Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
cos Aft } = (2.8)
H І і
и гамильтонианом
JV
я = -gL Yt' ГЛln (4^2 sin2 х) • (2'9)
г,к=1
Система (2.7) всегда имеет четыре интеграла движения
N
H = c0, Fi = R ^^ Ti sin А і cos ipi = сі,
i=1 (2.10)
JV JV v '
F2 = R Ti sin Ai sin Lpі = c2, F3 = R ^^ Ti cos Ai = c3,
І = 1 S=I jj 1. Динамика точечных вихрей на плоскости 265
которые, однако, не находятся в инволюции. Можно показать, что интегралы F1, F2, F3 коммутируют как компоненты вектора момента:
{Fi, -Fj} = -SijkFjt.
Замечание 2. Декартовы координаты вихрей x,y,z при вложении сферы в трехмерное пространство коммутируют как образующие алгебр яо(3) (аналогично компонентам моментов для волчков)
. \ — ^
I Xi^oc,Xj?\ — -^-?a?yXj?,
где г, j — номера вихрей, а, /3,7 — номера компонент.
2. Алгебраическое представление. В
качестве новых переменных, аналогично соответствующим величинам в динамике вихрей па плоскости, примем:
Mij=AR2Shi2^, (2.12)
являющиеся квадратами длин хорд между соответствующими вихрями [205]. Гамильтониан (2.9) зависит только от относительных переменных:
N г,k=1
Из соотношений между каноническими координатами (2.11) можно найти коммутаторы между величинами Mik-.
{Mij, Мы} = 4 - Aijl + 4 ^Sll - Aijk, (2.14)
где введены обозначения:
Aiift =Л Tj Arft. (2.15)
скобка Пуассона между величинами Mik пропорциональна объему параллелепипеда, натянутого на радиус-векторы тройки вихрей на сфере
(2.11) 266 Глава Ji
(см. рис. 29). Мы обозначаем соответствующие характеристики задач о вихрях на плоскости и сфере одинаковыми символами.
Полный набор функций Mik и Ajjjt замкнут относительно скобки (2.11)
[Mij, Aklm] = (^Sik - jMjk) (Ми - Mim + Mmj - Mjl) + + - ^-djt j (.Mmi - Mik + Mkj - Mjm) +
+ (jM™ - (Mki - Mil + Mlj - Mjk) +
+ - jMjfc) (MjlMim - MmjMil) +
+ ^r2 (jrui - jMj^ (MjmMik - MjkMim) + + ^ (^Aim - ff Sjm) (MjkMil - MikMjl), (2.16) [Aijk, Aimn] = ^Ajfcrt - Ajkm + (MinAjkm - Mim Ajkn^J + + ^ ^Ajfc/ - Ajkn + ^lj (MilAjkn - MinAifc,)) + + ^ ^Ajfcm - Ajkl + ^2 (MimAjH - MilAjkm^j + + ^Aifcm — Ajfcn + ^^ (MjmAikn — MjnAikm)^ + + ^ ^Aifen - Aikl + (MjnAikl - MiilAifcji)) +
wJn
Tj
(^Aikl — Aikm + (MjIAikm — MjmAikt)) +
+ ^r ( Atjn — Aijm + (MknAijm — MkmAijn) ) +
+ ^ ^Aij; - Aijn + (Mkl Aijn - Mkll Aijl )J + + ^ f A«jm - Aijl + (MkmAijl - MklAijm) J . jj 1. Динамика точечных вихрей на плоскости 267
Квадратичная неоднородная алгебра вихрей на сфере принадлежит к классу нелинейных алгебр Якоби [55, 205], плоский случай (1.10) ее линейная аппроксимация. Интересно, что возмущение по параметру XjR2 вносится в алгебраической форме в скобку, а не в гамильтониан. Естественным алгебраическим преобразованием перенести его в гамильтониан нельзя.
Соотношения между избыточными переменными на сфере аналогичны плоскому случаю (1.11), (1.12):
Fijki = 4 (Aijk + Aiki — Aiij — ^ijk)2 —
- -J- (MaMjlMjk - MijMikMjk + MaMklMjk + MilMkiMij+ H
+ MuMikMji - MuMikMkl + MilMikMjk + MjlMkiMij -
- MjlMklMjk + MjlMikMki + MjlMikMjk - MijMilMji +
+ MijMuMjk + MijMklMjk + MijMikMjl + MijMikMkI -
- MlMjl - MaM1jk - MflMjk - MikM2l - (2.17)
- MktM2j - MijM2kl) = о, Fijk = IAijk2 + (Mlj + M2k + Mfk) -
- 2 (MijMjk + MikMjk + MijMik) (2.18)
+ -^MijMjkMki = о. H
Алгебра вихрей на плоскости (1.10) и соответствующие инвариантные соотношения получаются предельным переходом из скобки (2.16) и функций (2.17), (2.18) при R —> ос.
В отличие от скобки (1.10) в динамике вихрей на плоскости, скобка (2.14), (2.16) удовлетворяет тождеству Якоби лишь на многообразии определенном всеми соотношениями (2.17) (2.18) (ср. с §1). При этом ненулевые элементы тензора Якоби — Jijk = {{хі, Xj}, xkj + + {{xj,xk}.xi} + {{xk.xi},xj} представляют собой тождества между хордами (2.12) и ориентированными объемами (2.15) при произвольном расположении точек на сфере (см. также § 1). Приведем для примера со- 268
Глава Ji
отношения для четырех вихрей, которые нам понадобятся ниже
Ді + Д2 + Д3 + A4 = -Lo2Mi2 + A3M13 + A4M14) = 4 R1
= -!-(A1Mi2 + A3M2 з + A4M24) = 4 л
(2.19)
= -!-(A1Mi3 + A2M23 + A4M34) = 4 К
= -!-(AiMi4 + A2M24 + A3M34), 4 Rz
здесь Al = A234, A2 = A3I4, A3 = Ai24, A4 = A243. Доказательство этих геометрических соотношений методами сферической геометрии весьма громоздко, а сами соотношения неочевидны. Пуассоновы структуры дают, таким образом, некоторый алгоритм их получения. Для плоскости при R —у оо получается обычное соотношение для ориентированных площадей в четырехугольнике.
Скобка (2.14), (2.16) допускает также линейную функцию Казимира (1.13), которая связана с интегралами (2.10) соотношениями
, 1V S2
f = [R E г<J - Fі2 - - ¦ (2-2°)
Неравенства треугольников у1 M^ + у1 Mjk ^ Mik также остаются в силе для задачи о вихрях на сфере. Здесь треугольники образованы соответствующими хордами, соединяющими точечные вихри.
3. Проблема интегрируемости. Переход от уравнений движения (1.1) и (2.7) к гамильтоповой системе со скобкой (1.10) и (2.16), описывающей эволюцию взаимного расположения вихрей, соответствует редукции в алгебраической форме. Введение канонических (симплек-тических) координат для приведенной системы в предложенном подходе представляет собой уже проблему алгебры, а не механики (см. §5). Размерность симплектического листа (в общем случае сингулярного) приведенной системы (определяется соотношениями (2.17) и (2.18) и линейным интегралом (2.20)) равна 2N — 4. По теореме Лиувилля (§2 гл. 1) для ее интегрируемости необходимо N- 3 дополнительных ин-волютивных интеграла. Следовательно, система трех вихрей интегрируема при произвольных гамильтонианах (инвариантных относительно § 3. Движение трех вихрей. Общий компактный случай
