Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
§ 2. Динамика точечных вихрей на сфере
1. Абсолютное движение. Канонические уравнения. Рассмотрим задачу, родственную предыдущей, постановка которой также восходит к прошлому веку. В работе [56] И. С. Громека (1885 г.) пытался вывести уравнения движения точечных вихрей на сфере из основных принципов гидродинамики с использованием картографических преобразований. Однако он не смог найти в явном виде функцию тока, обобщающую плоскую ситуацию. В дальнейшем этой задачей занимался Э.Цермело [341], в книге [68] отмечена важная роль модели точечных вихрей и вихреисточников для целей динамической метеорологии.
Общая гамильтонова форма уравнений движения iV-точечных вихрей и интегрируемость системы трех вихрей на сфере была указана262
Глава Ji
В.А.Богомоловым в работах [14, 15]. В работе [264] уравнения Богомолова проанализированы с точки зрения отображения момента, в работах [6, 193] доказана неинтегрируемость ограниченной задачи четырех вихрей.
Замечание 1. Потенциальные течения идеальной жидкости на искривленных поверхностях рассматривались Вельтрами, Хиллом и Умовым (работы последнего относятся к области классической электродинамики вследствие существования хорошо известной аналогии). В работе [56] Громека рассмотрел уравнения движения точечных вихрей на поверхностях сферы и цилиндра, а также даже более общую задачу о движении вихрей в области па этих поверхностях ограниченной замкнутым неподвижным контуром.
Как пишет сам Громека [56], — «Задача о движении вихрей на сфере была мне указана профессором В. В. Преображенским, по мнению которого решение этого вопроса должно представлять большой интерес для целей физической географии». В работе [15] разобраны некоторые варианты вихревого движения на вращающей сфере.
Мы покажем [205] как уравнения движения N вихрей на сфере радиуса R можно представить в гамильтоновой форме с вырожденной пуассоновой структурой, задаваемой нелинейной алгеброй Якоби [55]. Более формальные вопросы обсуждаются в § 6 гл. 4.
Для вывода уравнений движения точечных вихрей рассмотрим движение идеальной несжимаемой жидкости между двумя твердыми концентрическими сферами в отсутствие внешних сил. Данная модель в некотором приближении описывает атмосферу Земли.
Прежде всего уточним понятие точечного вихря на сфере. В пределе, когда толщина сферического слоя жидкости стремится к пулю, используя теорему Вейса [118] и гармоническую сопряженность потенциала и функции тока течения на сфере, можно показать, что эквивалентным представлением точечного вихря на S2 является полубесконечная вихревая нить в Ж3 постоянной плотности, исходящая из центра сферы.
Определим поле скоростей жидкости в пространстве, задаваемое N вихревыми полупитями. В отсутствие источников и стоков из разложения Гельмгольца получим
V = rot А, ДА = -ш,
(2.1)
где
N
(2.2)jj 1. Динамика точечных вихрей на плоскости
263
задает распределение завихренности N полунитей, V — скорость жидкости, А — векторный потенциал, ір,і — угловые координаты вихрей на сфере, Г; — их интенсивности.
Решение (2.1) с помощью функции Грипа в E3 запишется в виде
Ae = 0, Av = 0,
OO 7Г /О 0\
f ff , , Л г'2 sin e'dr'de'dip' У2-6)
. / / I ш(г , О , ip )----,
47Г J J J [г2 + г'2 - 2гг'Ь(0, <р, 0', ip')}1Z2
где Ь(9, ip, 9', ip') = sin 0 sin 0'cos(y> — + cos 9 cos — косинус угла между векторами (г, в, ip) и (г, О1, ip'). Интеграл (2.3) имеет несобственную логарифмическую расходимость по радиусу. Для выделения регулярной части интеграла выразим составляющие скорости Vg, Vv из (2.1) в сферической системе координат
^ = 0' = ъ = (2-4)
Интегралы в правых частях (2.4) сходятся. Вычислив их, получим поле скоростей от системы вихревых полунитей в E3
^ = -4^^1?' vV = -I
г г
а{ір, в', ip') = sin 9' Sin^ - ip'), (2.5)
?(6, ip, в', ip') = cos в sin в' c.os(ip-ip') - sin в cos в', k = Ь(в, ip, Bi, ipi), Oii = а(ір, Bi, ірі), ?i = ?{9, ip, Oi, ірі).
Интегрируя по углам выражения (2.4) с учетом (2.5) и исключив таким
образом бесконечное постоянное слагаемое в (2.3), находим потенциал ^ = (2-6)
і
В отличие от плоского случая (а также аналога ньютоновского потенциала в небесной механике § 2 гл. 3 на S2) полученный потенциал264
Глава Ji
удовлетворяет уравнению, которое отличается от уравнения Лапласа— Бельтрами дополнительной постоянной, равной сумме интенсивностей всех вихрей:
rib I H9 w)+ -^Te w = -ab ^ r^ -^ - + Er.-
і г
Данную модель вихря па сфере можно также интерпретировать [265] как точечный источник завихренности плюс общая завихренность сферы с противоположным знаком.
Заменив теперь в (2.5) г, в, ip на R, Afc. <Pk и опуская члены с г = к, получим искомые уравнения движения N вихрей па сфере
' Sinfli sin(i,pfc-^i)
_I_sm Oj s:
Attb2 . * 1 - к
. I CoSflftSinfliCOS(VJft-^i)-SinflfcCOSfli
SinflfcWfc =---> Ii---,
Г AttR . 1-Cos7ifc
Cos7ift = Cosfli cos9k + Sinfli sinflft Cos(^)i — ^ft),г, к = 1, 2, ... , N,
(2.7)
ГДе Ък угол между радиус-векторами, соединяющими центр сферы с точечными вихрями і и к. Эти уравнения гамильтоновы со скобкой Пуассона