Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Борисов А. -> "Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике" -> 83

Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.

Борисов А. , Мамаев И.С. Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике — Удмуртский университет, 1999. — 470 c.
Скачать (прямая ссылка): puassonistrukturiialgebri1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 77 78 79 80 81 82 < 83 > 84 85 86 87 88 89 .. 144 >> Следующая


§ 2. Динамика точечных вихрей на сфере

1. Абсолютное движение. Канонические уравнения. Рассмотрим задачу, родственную предыдущей, постановка которой также восходит к прошлому веку. В работе [56] И. С. Громека (1885 г.) пытался вывести уравнения движения точечных вихрей на сфере из основных принципов гидродинамики с использованием картографических преобразований. Однако он не смог найти в явном виде функцию тока, обобщающую плоскую ситуацию. В дальнейшем этой задачей занимался Э.Цермело [341], в книге [68] отмечена важная роль модели точечных вихрей и вихреисточников для целей динамической метеорологии.

Общая гамильтонова форма уравнений движения iV-точечных вихрей и интегрируемость системы трех вихрей на сфере была указана 262

Глава Ji

В.А.Богомоловым в работах [14, 15]. В работе [264] уравнения Богомолова проанализированы с точки зрения отображения момента, в работах [6, 193] доказана неинтегрируемость ограниченной задачи четырех вихрей.

Замечание 1. Потенциальные течения идеальной жидкости на искривленных поверхностях рассматривались Вельтрами, Хиллом и Умовым (работы последнего относятся к области классической электродинамики вследствие существования хорошо известной аналогии). В работе [56] Громека рассмотрел уравнения движения точечных вихрей на поверхностях сферы и цилиндра, а также даже более общую задачу о движении вихрей в области па этих поверхностях ограниченной замкнутым неподвижным контуром.

Как пишет сам Громека [56], — «Задача о движении вихрей на сфере была мне указана профессором В. В. Преображенским, по мнению которого решение этого вопроса должно представлять большой интерес для целей физической географии». В работе [15] разобраны некоторые варианты вихревого движения на вращающей сфере.

Мы покажем [205] как уравнения движения N вихрей на сфере радиуса R можно представить в гамильтоновой форме с вырожденной пуассоновой структурой, задаваемой нелинейной алгеброй Якоби [55]. Более формальные вопросы обсуждаются в § 6 гл. 4.

Для вывода уравнений движения точечных вихрей рассмотрим движение идеальной несжимаемой жидкости между двумя твердыми концентрическими сферами в отсутствие внешних сил. Данная модель в некотором приближении описывает атмосферу Земли.

Прежде всего уточним понятие точечного вихря на сфере. В пределе, когда толщина сферического слоя жидкости стремится к пулю, используя теорему Вейса [118] и гармоническую сопряженность потенциала и функции тока течения на сфере, можно показать, что эквивалентным представлением точечного вихря на S2 является полубесконечная вихревая нить в Ж3 постоянной плотности, исходящая из центра сферы.

Определим поле скоростей жидкости в пространстве, задаваемое N вихревыми полупитями. В отсутствие источников и стоков из разложения Гельмгольца получим

V = rot А, ДА = -ш,

(2.1)

где

N

(2.2) jj 1. Динамика точечных вихрей на плоскости

263

задает распределение завихренности N полунитей, V — скорость жидкости, А — векторный потенциал, ір,і — угловые координаты вихрей на сфере, Г; — их интенсивности.

Решение (2.1) с помощью функции Грипа в E3 запишется в виде



Ae = 0, Av = 0,

OO 7Г /О 0\

f ff , , Л г'2 sin e'dr'de'dip' У2-6)

. / / I ш(г , О , ip )----,

47Г J J J [г2 + г'2 - 2гг'Ь(0, <р, 0', ip')}1Z2

где Ь(9, ip, 9', ip') = sin 0 sin 0'cos(y> — + cos 9 cos — косинус угла между векторами (г, в, ip) и (г, О1, ip'). Интеграл (2.3) имеет несобственную логарифмическую расходимость по радиусу. Для выделения регулярной части интеграла выразим составляющие скорости Vg, Vv из (2.1) в сферической системе координат

^ = 0' = ъ = (2-4)

Интегралы в правых частях (2.4) сходятся. Вычислив их, получим поле скоростей от системы вихревых полунитей в E3

^ = -4^^1?' vV = -I

г г

а{ір, в', ip') = sin 9' Sin^ - ip'), (2.5)

?(6, ip, в', ip') = cos в sin в' c.os(ip-ip') - sin в cos в', k = Ь(в, ip, Bi, ipi), Oii = а(ір, Bi, ірі), ?i = ?{9, ip, Oi, ірі).

Интегрируя по углам выражения (2.4) с учетом (2.5) и исключив таким

образом бесконечное постоянное слагаемое в (2.3), находим потенциал ^ = (2-6)

і

В отличие от плоского случая (а также аналога ньютоновского потенциала в небесной механике § 2 гл. 3 на S2) полученный потенциал 264

Глава Ji

удовлетворяет уравнению, которое отличается от уравнения Лапласа— Бельтрами дополнительной постоянной, равной сумме интенсивностей всех вихрей:

rib I H9 w)+ -^Te w = -ab ^ r^ -^ - + Er.-

і г

Данную модель вихря па сфере можно также интерпретировать [265] как точечный источник завихренности плюс общая завихренность сферы с противоположным знаком.

Заменив теперь в (2.5) г, в, ip на R, Afc. <Pk и опуская члены с г = к, получим искомые уравнения движения N вихрей па сфере

' Sinfli sin(i,pfc-^i)

_I_sm Oj s:

Attb2 . * 1 - к

. I CoSflftSinfliCOS(VJft-^i)-SinflfcCOSfli

SinflfcWfc =---> Ii---,

Г AttR . 1-Cos7ifc

Cos7ift = Cosfli cos9k + Sinfli sinflft Cos(^)i — ^ft),г, к = 1, 2, ... , N,

(2.7)

ГДе Ък угол между радиус-векторами, соединяющими центр сферы с точечными вихрями і и к. Эти уравнения гамильтоновы со скобкой Пуассона
Предыдущая << 1 .. 77 78 79 80 81 82 < 83 > 84 85 86 87 88 89 .. 144 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed