Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
Fijkl — Aijk + Д
likl
- Aiij - A-Ijk — 0,
F%jk
- (2Ани? + Ml-
мЬ + м]к
Ljk + MijMik + MjkMik) = 0.
Hj т ^ljk 2 (MijMj
(1.11) (1.12)
Соотношения (1.11) отражают тот факт, что четырехугольник, натянутый на вихри ijkl может быть составлен из треугольников двумя способами (рис. 28). Уравнения (1.12) представляют собой формулы Герона, выражающие площадь треугольника через его стороны.
Можно показать, что после исключения с помощью соотношений (1.11), линейно зависимых переменных Aijk, оставшиеся Д, M определяют скобку Ли—Пуассона. Ниже под пуассоновой структурой системы вихрей мы будем понимать скобку (1.10) на подпространстве (1.11), а определяющую ее алгебру Ли называть вихревой алгеброй. Функции (1.12) являются инвариантными соотношениями, то есть коммутируют со всеми образующими на
совместной поверхности уровня (1.12). Возникающие в этом случае тождества вида {A, Fijk} = 0 и (М, Fijk] = 0 представляют собой геометрические соотношения между взаимными расстояниями и площадями N точек на плоскости.
Как легко показать, скобка (1.10) допускает также линейную функцию Казимира, которая является следствием существования интеграла момента вихрей I (1.10)
Рис. 28
N
N
D = ^ TiTjMij = 2 I ^ri /-Q2-P
47=1
(1.13)
Ее поверхность уровня совместно с (1.12) определяет симплектичес- 260
Глава Ji
кий лист (в общем случае сингулярный) размерности 2N — 4, который соответствует приведенному фазовому пространству системы (1.1).
Таким образом, относительное движение вихрей может быть описано гамильтоновой системой со скобкой Ли Пуассона (1.10), зависящей от параметров — иптспсивпоетсй вихрей. Вещественная форма алгебр Ли отвечающих данным скобкам при различных значениях иптспсивпостей определяет топологию симплектических листов и следовательно динамику приведенной системы.
Естественным с физической точки зрения вопросом является нахождение условий па интенсивности, при которых данная алгебра является компактной, поскольку это влечет компактность всех симплектических листов. В этом случае все траектории относительного движения вне зависимости от значения энергии и момента (1.13) финитны, и кроме того всегда можно выбрать ограниченную область в пространстве взаимных расстояний, которую вихри не покидают. В некомпактном случае динамика вихрей существенно иная — даже если все траектории на симплектическом листе финитны (что в общем случае не так) можно подобрать значения энергии (1.9) и момента (1.13) так, что вихри покинут наперед заданную область.
Если выразить Aijk из (1.12) и подставить в уравнения движения для квадратов взаимных расстояний M^, получим уравнения Е.Лаура [273, 274]. С гамильтоновой точки зрения эти уравнения получаются при ограничении скобки Пуассона (1.10) па апнуляторы (1.12) (§8 гл. 1). Получающаяся при этом нелинейная пуассонова структура также является вырожденной.
Разрешив уравнения движения относительного положения вихрей, можно найти, используя квадратуры и начальные условия, их абсолютные координаты на плоскости в любой момент времени [117].
Укажем некоторые основные закономерности динамики точечных вихрей, отмеченные, например, в [117, 325].
1. Если в момент t = to вихри проходят через коллинеарную конфигурацию (то есть все лежат на одной прямой), то конфигурации в момент времени t = ± т получаются отражением друг друга относительно этой прямой для любых т.
2. Системы вихрей не могут проходить более чем через две коллинеарные конфигурации. Время перехода из одной коллинеарной конфигурации в другую в процессе движения одно и то же. При достижении коллинеарной конфигурации относительные скорости Mij равны пулю. jj 1. Динамика точечных вихрей на плоскости
261
замечание 1. Уравнения во взаимных переменных М, Д в вихревой динамике вполне аналогичны уравнениям Эйлера—Пуассона в динамике твердого тела. Однако, если скобка Ли—Пуассона, возникающая в последнем случае, определяется группой Ли, представляющей конфигурационное пространство системы, а уравнения Гамильтона получаются из лагранжева формализма, то в динамике точечных вихрей алгебра скобок имеет более сложное динамическое происхождение. При этом фазовое пространство не может быть представлено как кокасателыюе расслоение, поэтому лагранжево представление уравнений движения невозможно. Неудивительно, что эта стуктура, играющая важную роль при динамическом анализе, так и не была замечена классиками (хотя различные комбинации площадей и взаимных расстояний постоянно встречались при исследовании динамики вихрей [117, 188, 183, 184, 258]).
замечание 2. Уравнения движения вихревой динамики квазиоднородны (см. §7 гл. 1) как в абсолютных (1.1), так и в относительных переменных. В абсолютных переменных степень квазиодпородпости g = — 1J2, а в относительных — g = —1. Тем не менее, система имеет логарифмический интеграл энергии.
Замечание 3. Геометрическое неравенство треугольников типа VMi + + л/M2 ^ Mi для приведенных уравнений заведомо выполнено на особых симплектических листах (сингулярных орбитах), фиксированных соотношениями Fijk = 0 (1.12). Этот лист целиком заполнен реальным физическим движением системы. При его проекции в М-прострапство в точках, для которых выполнены соотношения вида у'Mi + \/М2 = Mi, возникают особенности типа складки (аналогичные особенностям в точках экватора при проектировании сферы на плоскость).
