Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
3. Уравнения Кирхгофа на S3, L3. Если в уравнениях (8.5) считать гамильтониан произвольной (положительно определенной) квадратичной формой переменных L, 7г, то получаются уравнения Кирхгофа, описывающие движение по инерции твердого тела в безграничном объеме безвихревой идеальной жидкости в S3(Ls). Они совпадают с уравнениями Эйлера на алгебре .so(4)(,so(3,1)), обзор случаев интегрируемости которых содержится в § 1 гл. 2.
Относительно физической значимости этих уравнений приведем высказывание Гаррета Биркгофа из его замечательной книги [12]:
«Предшествующие формулы имеют очевидные аналоги для движений воображаемых твердых тел в идеальной жидкости в неевклидовых 252
Глава Ji
пространствах. Конечно, сомнительно, чтобы эти аналоги классических формул имели даже ограниченное физическое значение ... Тем не менее, может быть было бы интересно установить некоторые из аналогов этих (классических — авт.) формул, с тем чтобы проиллюстрировать влияние кривизны пространства (если оно существует) на величину реакции безгранично простирающейся идеальной жидкости на тело при установившемся движении».
Замечание 1. Анализ движения двумерной площадки на сфере S3 под действием потенциальных сил выполнен в [39], где указан аналог случая Лагранжа, возникающий при динамической симметрии тела.
Замечание 2. Приведем без вывода уравнения движения свободного тела в пространстве Лобачевского L3 (см. также [62]).
Обозначим координаты в системе, жестко связанной с телом х", а в абсолютной системе q?. Связь между ними определяется соотношением q? = = где матрица В = \\В?\\ принадлежит группе SO(I1S). Перейдем к
квазискоростям ш Є so(l,3) и квазиимпульсам M(L,7r) по формулам:
ш = B-1B, (в компонентах = (В'1^B?), M = g = gJ^ + wgJ,
L': = -IeiJV1Mj*, Ki = -Mb і,,",----1,2,3,
где g = diag(—1,1,1,1) — метрический тензор пространства Минковско-го M4, a Jctt = ^mZir — тензор моментов инерции в системе, связанной
т
с телом.
Уравнения ДВИЖеНИЯ B переменных L, 7Г имеют вид
(8.12) OL ~ " O7T
• _ ^ v дн т v дн
7г — 7г x —— — Li x -
и представляют собой гамильтонову систему на алгебре so(3,1) в стандарт-пом матричном представлении. Функция Гамильтона в переменных L, тт может быть записана в виде
H= I(L5AL)+ ±(тг,Втг), (8.13)
где
J = diag(Ao,Ai,A2, A3). § 8. Движение твердого тела с. гиростатом
253
При этом в силу того, что в пространстве Лобачевского выполнено соотношение (ж0) — (ж1) —(ж2) — (ж3) = І?2, справедливо неравенство (ж0) > (ж') , і = 1,2,3 и поэтому Ao > А, і = 1,2,3. Система (8.13) является интегрируемой — дополнительный квадратичный интеграл можно найти в книге [18].
4. Частные решения. Перманентные вращения. Рассмотрим частные решения свободного твердого тела в S3 (без гиростата). В евклидовом пространстве соответствующие уравнения, определяемые скобкой алгебры Ли е(3)
[Mi, Mj} = -SijkMk, {Mi,pj} = -SijkPk, {Pi,Pj} = О с гамильтонианом
H= i(p,p) + i(AM,M)
имеют (в общем случае Ci1 ф а2 ф а3 ф ai) четырехпараметрические семейства частных решений
Pi=P0i, (/ = 1,2,3), M1 = M2 = O5 M3 = M30.
Эти решения определяют перманентные вращения задачи Эйлера— Пуансо вокруг главных осей эллипсоида инерции, дополненные общим равномерным прямолинейным поступательным движением. Вращения вокруг малой и большой осей устойчивы, а вокруг средней — неустойчивы.
Уравнения движения свободного тела на S3 допускают два различных семейства двухпараметрических решений:
L1 =TT1 =L2 =W2 =0, L3=La3, тт3=тта3, (8.14)
L1=TT1= 0, TT2 = 7Г§, TT3 = ТТІ,
то і Ai+ A2 о г0 і Ai+A3 о (8.1о)
L3 = ±, . тт3, L2 = ± ТТ2.
Ao +A3 Ao + A2
В пространстве Лобачевского второй класс решений отсутствует. Это обусловлено большей симметрией группы SO(4) Ri SO(S) ® ?0(3) по сравнению с 50(3,1). Отметим также, что если на S3 векторы 7Г и L равноправны, то в пространстве Лобачевского вектору 7Г можно придать смысл суммарного импульса, а вектору L смысл суммарного момента. 254
Глава Ji
Анализ устойчивости решений (8.14), (8.15), даже в линейном приближении, представляет собой достаточно трудоемкую задачу. Приведем несколько простейших соображений относительно устойчивости более частных, чем (8.14), (8.15) решений, существующих на инвариантных многообразиях
L = ±7г и 7г = 0.
На инвариантном многообразии L = ±7Г (для S3) получается система Эйлера
L = Lx(AiB)L, (8.16)
причем матрица А +В является положительно определенной и существуют два устойчивых и одно неустойчивое перманентное вращение. Матрица А —В, вообще говоря, не является положительно определенной и число неустойчивых вращений может возрасти.
На инвариантных многообразиях 7Г = 0 или L = O снова получаются уравнения Эйлера L = Lx AL или п = 7Г х В7Г с положительно определенными матрицами А и В.
В пространстве Лобачевского инвариантное многообразие 7Г = 0 (твердое тело не совершает «поступательного» движения) также определяет систему перманентных вращений задачи Эйлера—Пуансо L = Lx AL. Сами «поступательные движения», определяемые вектором 7г, при отсутствии момента вращения L=O, должны удовлетворять уравнению
