Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
Рангом пуассоновой структуры в точке х Є M называется ранг структурного тензора в этой точке (очевидно, что он четен). Как правило, под рангом пуассоновой структуры па M понимают максимальный ранг, который она имеет в некоторой точке х Є М. Для симплектичес-ких многообразий ранг пуассоновой структуры в любой точке постоянен и максимален.
Сформулируем общую теорему Дарбу для произвольных (возможно вырожденных) пуассоновых многообразий. Доказательство этой теоремы восходит к Ли [278] и Дарбу, с более формальными рассуждениями можно ознакомиться по работе [334] (см. также [131]).
Теорема. Пусть (М, {•, •}) — пуассоново многообразие размерности п, и в точке X Є M ранг скобки {•,•} локально постоянен и равен 2г. Тогда существует локальная система (канонических) коорди- 20
Глава 1
нат xi,... , xr, yi,... , yr, zi,... , zn-2r, в которой скобки Пуассона имеют вид
{Xi,Xj} = {Уі,'Уj} = {Xi,Zk \ = {yi,zk \ = {zk,zi \ = 0,
{•?«) У.і} = ^i'h
где 1 Ss г, J Ss г, 1 ^ k, I sj п — 2г.
В указанных координатах симплектический лист задается уравнениями Zi = Cj, (cj = const), а симплсктическая структура па нем задается формой ш = dxi Adyi. Если в любой окрестности точки х ранг не является локально постоянным, то теорема Дарбу уже не является справедливой. Одно из обобщений теоремы Дарбу для произвольной точки получено А. Вейнстейном [334] и будет рассмотрено в § 9 гл. 1. Нормальные формы пуассоповых структур вблизи такой особой точки X Є M обсуждаются в [2, 334].
4. Пуассоновы подмногообразия. Ограничение скобки. Определение 2. Пусть (М,{-,-}м), (n, {•,'}jv) пуассоновы многообразия. Отображение f: M N называется пуассоновым, если
{F(f(x)), G(f(x))}M = {F, G}N(f(x)) (1.10)
для любых фупкцй F, G: N —> E (т. с. отображение сохраняет скобку Пуассона).
Пусть NcM — подмногообразие в пуассоновом многообразии. На N можно определить скобку {-, -}jv функций F, G: N —» E по формуле
(1.11)
где в правой части стоит ограничение скобки Пуассона двух функций F, G, являющихся гладкими продолжениями функций F, G на объемлющее многообразие М.
Определение 3. Подмногообразие N называется пуассоновым, если скобка {•, -}лг не зависит от способа продолжения функций F и G.
При этом отобралгение вложения г: N —>¦ M является пуассоновым. Определение 4. Пуассопова структура {•,•}« на многообразии N, в общем случае содержащая константы, фиксирующие это подмногообразие в М, называется ограничением на N скобки {•,•}.
{F, G}N= {F,G} § 1. Определение и приліерьі скобок Пуассона. Скобки JIu—Пуассона 21
Пуассоновость подмногообразия N гарантирует для {-,-}^ выполнение тождества Якоби. В случае, если скобка {•,•jjv — невырождена, соответствующее подмногобразие называется невырожденным (сим-плектическилі).
Несложно проверить, что поверхности уровня функций Казимира задают пуассоново подмногообразие, которое является невырожденным, если рассмотреть их общий регулярный уровень. Чтобы лучше попять устройство других пуассоповых подмногообразий, сформулируем простые утверждения, доказанные, например, в [131].
Предложение 1. Если N — пуассоново подмногообразие, то для венкой функции F: M К векторное поле Xp = {•,F}\N касается N.
Предложение 2. Если N задано в виде N = {х Є М, /,;(.г) = 0}, то для всякой функции F: M E выполнено {fi,F}\N = 0 (в частности, для координатных функций {fi,xj}\N = 0).
С точки зрения динамики функции Казимира представляют собой первые интегралы, существующие у гамильтоновой системы (1.9) при любых функциях Гамильтона Н. В общем случае пуассоновы подмногообразия представляют собой систему инвариантных соотношений динамической системы (1.9), также не зависящую от выбора гамильтониана. Симметрии, соответствующие этим функциям, содержатся полностью в пуассоновой структуре.
Само обобщение классической гамильтоновой системы (1.1) на случай вырожденного структурного тензора с динамической точки зрения эквивалентно рассмотрению систем, представление которых в каноническом виде не очевидно заранее, но возможно (локально — это следствие теоремы Дарбу) на общем уровне функций Казимира или существующих у данной системы инвариантных соотношений, определяющих невырожденное пуассоново подмногообразие.
5. Примеры неканонических скобок Пуассона. Системы с гироскопическими силами. Пусть па касательном расслоении TM = (q, q) задана лагранжева динамическая система с лагранжианом L, содержащим члены, линейные по скоростям
L = T + (f( q),q)+F(q), (1.12)
— квадратичная по q положительно-определенная форма кинетической энергии, F(q) — потенциал. Линейные члены в (1.12) могут 22
Глава 1
возникать либо при наличии в системе гироскопических сил типа силы Лоренца, действующей на заряд в магнитном поле, либо в процессе понижения порядка по Раусу в системах, содержащих циклические координаты [129].
вается формой гироскопических сил. Она определена на конфигурационном пространстве M = {q} и является замкнутой. По лемме Пуанкаре, локально эта форма является точной, что может быть невыполнено глобально. В этом случае лагранжиан (1.12) не является глобально определенным на касательном расслоении (точнее, одип-форма fi(q) dqi
