Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
ла получена Шлефли в 1850 г. (для «-мерного случая) и содержится в книге [47].
Вопрос об устойчивости указанных положений равновесия может быть решен с помощью обобщения теоремы Ирншоу на S3, L3. (Теорема Ирпшоу для евклидова пространства утверждает, что всякая равновесная конфигурация зарядов с кулоновским взаимодействием является неустойчивой.) Ее обобщение несложно извлечь из рассуждений работы [85], в которой даже доказано более сильное утверждение о неустойчивости для систем с гармоническим потенциалом. Для трехмерной сферы S3 вывод о неустойчивости является в некотором смысле неожиданным, так как в силу компактности она обеспечивает финит-пость всех траекторий.
Заметим также, что существование равновесных (хотя и неустойчивых) конфигураций делает осмысленной постановку задачи п центров на S3 (движение «легкой» частицы в поле п неподвижных ньютоновских центров — при п = 2 см. § 3 гл. 3), в отличие от небесной механики в плоском пространстве, где, вообще говоря, такая физическая модель малосодержательна. В общем необходимо отметить, что компактность трехмерной сферы обуславливает многие неожиданные эффекты, отсутствующие в евклидовом пространстве и пространстве Лобачевского, которое, в некотором смысле, ближе к евклидову пространству.
В этой книге мы не будем подробно останавливаться на изучении частных решений задачи п тел для S3 и L3. Заметим, что даже для евклидовой небесной механики отыскание всех относительных равновесий (центральных конфигураций [4]) является пока нерешенной алгебраической задачей.
В случае п = 3 для S3 и L3 существуют «коллинеарные» (эйлеровы) и «треугольные» (лагранжевы) частные решения. Как было показано в этом параграфе для ограниченной задачи трех тел на S3 при малых кривизнах существуют три различные «коллипеарпые» конфигурации. Эти решения остаются также в неограниченной задаче при малой массе одной из частиц, поэтому для S3 не справедлива теорема Мультона [4], которая в случае евклидова пространства утверждает, что для любой нумерации масс точек существет единственная коллинеарная конфигурация, в которой точки в заданном порядке расположены на одной прямой — таких конфигураций п\/2.
Лагранжевы решения при неравных массах точек уже не будут образовывать (вращающийся) равносторонний треугольник.В случае рав-246
Глава 2
ных масс легко показать, что для допустимых п (п > 2) существуют конфигурации, представляющие собой правильные многоугольники, равномерно вращающиеся относительно оси, перпендикулярной их плоскости. При этом угловая скорость вращения в зависимости от широты в вычисляется по формуле (для S3)
Таким образом, угловая скорость стремится к бесконечности на полюсах и экваторе. Однако на экваторе существуют равновесные конфигурации равносторонние правильные многоугольники, вращающиеся с произвольной угловой скоростью. Эти решения IIC могут быть получены предельным переходом в формуле (7.15) (они появляются вследствие того, что 51 — инвариантное многообразие на S3, отсут-свующее на L3). В гл. 4 будут указаны стационарные и статические конфигурации систем вихревой динамики. Они имеют много общего с соответствующими конфигурациями в задаче п тел.
§ 8. Движение твердого тела с гиростатом в искривленном пространстве. Стационарные движения
Для евклидова пространства уравнения движения твердого тела с уравновешенным гиростатом, движущемся по инерции, были получены Н. Е. Жуковским [63] и проинтегрированы В. Вольтерра [333] в эллиптических функциях. В искривленном пространстве уравнения гиростата в общем случае не являются интегрируемыми.
1. Свободное движение тела в S3. Рассмотрим сначала уравнения свободного движения твердого тела на трехмерной сфере S3. Заметим, что положение двумерного твердого тела па поверхности обычной двумерной сферы S2 может быть охарактеризовано с помощью элемента группы 50(3), который указывает положение тела на сфере и его ориентацию по отношению к неподвижным осям. Эта наглядная иллюстрация оказывается полезной для понимания взаимосвязи движения свободного твердого тела на S3 и вращением четырехмерного твердого тела вокруг неподвижной точки (уравнения Эйлера на 50(4)).
sin 2в sin2 в sin2 ? (1 - sin2 в sin2
7 то
(7.15)§ 8. Движение твердого тела с гиростатом
247
Трехмерную сферу будем представлять себе как поверхность в K4: + q2 = 1. Положение и ориентация тела по отношению к координатам qf, задается элементом группы 50(4), тем самым задача о свободном движении твердого тела в S3 сводится к задаче о движении четырехмерного твердого тела с закрепленной точкой в плоском пространстве Ж4.
Уравнения свободного вращения четырехмерного твердого тела запишем в виде уравнений Эйлера на алгебре Ли so(4) следующим образом. Введем систему отсчета, жестко связанную с телом. Координаты Xfl в ней связаны с координатами неподвижного пространства q? по формулам
Q? = BlivXv, (8.1)
где Bflv компоненты ортогональной матрицы из группы 50(4).
Функция Лагранжа свободного твердого тела L равна сумме кинетических энергий точек составляющих тело T