Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
qi = {qi,H}, рі = {Рі,Н}. (1.3)
Любая дифференцируемая функция F = F(q, р) также эволюционирует по гамильтонову закону:
F = {F:H}. (1.4)
Классическое изложение гамильтоновой механики, основанное на теории производящих функций и канонических преобразований координат (q, р) не является инвариантным относительно произвольных координатных преобразований. Поэтому при инвариантном построении гамильтонова формализма (следуя П. Дираку) исходят из уравнений (1.3) и постулируют свойства скобок Пуассона, определенных для функций, заданных на некотором многообразии M с координатами X = (ж1,... ,хп). Требуется, чтобы эти скобки удовлетворяли следующим условиям: § 1. Определение и приліерьі скобок Пуассона. Скобки JIu—Пуассона 17
1°. (AFi + IiF2, G) = A(FbG) + /x(F2, G}, А, /х Є К — билинейность,
2°. (F, G} = —{G7F} — кососимметричность,
3°. IFiF25G) = Fi(F2lG) +F2(FbG) — правило Лейбница,
4°. {{Я, F), G) + {{G, Я), F) + {{F, G), Я) = 0 — тождество Якоби.
Скобку Пуассона {•, •) мы будем называть также пуассоновой структурой, а многообразие М, на котором она задана — пуассоновым.
В приведенном определении мы отказались от свойства невырожденности, (т. е. VF(x) ф const, 3G Ф const, (F,G) ф 0), которое заложено в выражении (1.2), что позволяет, например, ввести скобку Пуассона для нечетномерных систем. При этом пуассонова структура может оказаться вырожденной и обладать функциями Казимира Ffe(х), коммутирующими со всеми переменными Xi и, стало быть, с любыми функциями —VG(x), (Ffc,G) = 0 (в литературе для функций Казимира употребляют также термины: аннуляторы, центральные функции, отмеченные функции и просто казимиры).
Свойства 1° — 4° позволяют записать скобку Пуассона функций F и G в явном виде
WO = Eloign- <1J»
г, 3
Базисные скобки Ju = (.?%.?-7) называются структурными функциями пуассонова многообразия M относительно данной, вообще говоря, локальной системы координат х [131]. Они образуют структурную матрицу (тензор) J = Ц./'-'Ц размера п х п. Если
J= ( % f ), E = WSfl (1.6)
то получаем каноническую скобку Пуассона, определяемую формулой (1.2).
Структурная матрица Ju(X) обладает следующими свойствами:
а) кососимметричность:
JiJ(X) = -Jji(^)j
(1.7) 18 Глава 1
б) тождество Якоби:
J^ \ OX OX OX )
Легко видеть, что всякая постоянная кососимметрическая матрица Jt? задает пуассонову структуру.
Инвариантный объект, определяемый тензором JtKi является бивектором (бивекторным полем):
BF
где dF — ковектор с компонентами
дхг
Векторное поле Хц = определяет на многообразии гамиль-
тонову систему, которая в компонентной записи имеет вид
Xі = (ХнУ = {Xі, Н} = YtJij^TTl- (1-9)
. OX3
J
Функция H = Н(х) при этом называется гамильтонианом (функцией Гамильтона).
Коммутатор векторных полей и скобки Пуассона связаны соотношением
[.Хн, Xf] = -ХгЯ ,F}-
Несложно также проверить, что любое гамильтоново поле порождает преобразование, сохраняющее скобки Пуассона.
Определение 1. Функция F(x) называется первым интегралом системы, если ее производная вдоль системы равна нулю F = Xh(F) = О ([Хн,Хр] = 0), это условие эквивалентно тому, что {F,H} = 0.
2. Невырожденная скобка. Симплектическая структура. Если скобка Пуассона является невырожденной, то ей однозначно сопоставляется замкнутая невырожденная 2-форма. Действительно, для любой гладкой функции F операция X^ = {F, ¦} является дифференцированием и задает некоторый касательный вектор на М. Все касательные векторы можно представить в таком виде. Определим 2-форму и)2 по формуле
и;2(XG, XF) = {F,G}. § 1. Определение и приліерьі скобок Пуассона. Скобки JIu—Пуассона 19
Из аксиом 1° — 4° следует, что она билинейна, кососимметрична, невырождена и замкнута. Эта 2-форма называется симплектической структурой, а многообразие M — симплектическим многообразием. В общем случае форма и>2 имеет вид Y^<-°ijdxi Л dxj, где Цш^Ц = в ка-
ноническом случае (1.6) W2 = Y^d'Pj Л (?. К такому виду по теореме Дарбу [3] приводится локально всякая симплсктическая структура.
Обратно, невырожденная форма и)2 позволяет установить изоморфизм касательного TxM и кокасательного пространств: вектору ? Є TxM ставится в соответствие 1-форма u;^(rj) = ы2(г),$) Є Т*М, где rj Є TxM. Пусть I: Т*М —» TxM — обратное отображение. Легко проверить, что скобка Пуассона двух функций F, G, заданная формулой {F, G} = LJ2(IdGtIdF) удовлетворяет условиям 1° — 4° и условию невырожденности.
3. Симплектическое слоение. Обобщение теоремы Дарбу. Если скобка Пуассона является вырожденной, то пуассоново многообразие (фазовое пространство) расслаивается па симплсктическис слои (листы) , ограничение пуассоновой структуры на которые уже невырождено. Эти слои представляют собой общий уровень всех центральных функций и для них справедлива теорема Дарбу. Таким образом, на симплектическом слое мы вновь возвращаемся к ситуации стандартной канонической (симплектической) гамильтоновой механики. Однако, для приложений сведение к такой системе не всегда бывает необходимым, так как ведет к потере, например, алгебраичпости дифференциальных уравнений и ограниченности применения геометрических методов исследования.
