Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Борисов А. -> "Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике" -> 64

Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.

Борисов А. , Мамаев И.С. Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике — Удмуртский университет, 1999. — 470 c.
Скачать (прямая ссылка): puassonistrukturiialgebri1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 58 59 60 61 62 63 < 64 > 65 66 67 68 69 70 .. 144 >> Следующая


193

1. Алгебра интегралов задачи Кеплера. Остановимся более подробно на задаче Кеплера на трехмерной сфере и в пространстве Лобачевского. В случае плоской задачи Кеплера (в M3) хорошо известна природа ньютоновского (кулоновского) вырождения, обусловленная повышенной (так называемой «скрытой») симметрией задачи Кеплера. Как было показано Баргманом, известные интегралы движения — момент M и вектор Лапласа Рунге Ленца А образуют в этом пространстве алгебру о(4) для отрицательных энергий и о(3,1) для положительных энергий [137].

Уравнения задачи Кеплера на единичной трехмерной сфере S3 (пространстве Лобачевского) можно записать в виде системы (1.16) с гамильтонианом (для S3 и L3) (1.9):

H = i(L2±7r2)+y, V = j ctg в = 7рт, (V = 7Cth0), (2.1) z 111

где мы полагаем, что притягивающий центр помещен в один из полюсов сферы, а «угол» 9 может быть найден из параметризации обычными сферическими (псевдосферическими) координатами.

qi = R sill 9 sin tf sill ф, <І2 <7з = R sin 0 cos ip, go

qi = -Rsh0sin<?sin?/>, q2 q3 = R sh 9 cos <p, qo

В дальнейшем, для простоты мы ограничимся рассмотрением S3, все результаты будут также справедливы для L3 при учете смены знаков и замене тригонометрических функций на гиперболические.

Физическое обоснование задания ньютоновского потенциала в виде (2.1), а гуковского — в виде V = lJtg2O содержится в работах [90, 270, 318]. Эти аналоги могут быть получены из обобщения теоремы Бертрана для пространств постоянной кривизны — только для указанных потенциалов все траектории частицы замкнуты. Ньютоновский (кулоновский) потенциал является также решением уравнения

= R sin 9 sin v3cos ф, ^lrfl43X = .Rcos в. (для Ь

(2.2)

= -Rsh0sin<pcosf/>, , ,.,>, = Rch9. (ДЛЯ L ) 194

Глава 2

Лапласа—Бельтрами для искривленного пространства

1 д

Sin2 в дв

sin2 в sin2 ip

1 a

Sh2 в дв

sh2 в sin2 <р дф'

которое инвариантно относительно группы SO(S) (не зависит от углов ір.ф) и имеет особенность в полюсе 6 = 0. (Для сферы S3, вследствие компактности, особенность возникает также в противоположном полюсе в = 7г). Эти особенности можно рассматривать как обобщение понятия точечной массы (заряда) в пространстве постоянной кривизны.

Несложно проверить, что в силу инвариантности гамильтониана относительно вращений вокруг фиксированной оси в M4, проходящей через полюса (преобразований группы ?0(3)), уравнения движения имеют векторный интеграл момента L = const, (1.7) компоненты которого образуют алгебру ао(3): {Li,Lj] = SijkLk. Аналог вектора Лапласа—Рупгс—Лспца, обусловленный скрытой симметрией, для этих уравнений был найден в [55]:

А = L X -к + 7

q

(2.3)

q|'

Коммутационные соотношения между LnA имеют вид

{Ai,Aj} = -2sijkLk(H + L2), {Li, Aj] = SijkAk, {Li, Lj] = SijkLk.

(2.4)

Эти коммутационные соотношения задают нелинейную (бесконечномерную) алгебру Ли (по терминологии [55] алгебру Якоби). Ее ранг § 2. Задача Кеплера

195

равен четырем и она обладает двумя центральными функциями F1 = (L1A)5

F2 = A2 + (L2 + 1)(L2 + 1 + 2Н) - J2 + 1.

В действительном движении выполняется Fi = О,F2= 0. Для плоского пространства нелинейный член в (2.4) исчезает, и на уровне H = E получается алгебра Ли, изоморфная о(4) для E < 0 или о(3,1) для E > 0. Если рассматриваются уравнения, получающиеся при ограничении системы на сингулярную орбиту, то в формулах (2.4) надо предполагать компоненты L, А, выраженными через М, q по формулам (2.10) § 2 гл. 2.

2. Регуляризация. В плоском случае (на M2) известна регуляризация Болина (называемая также регуляризацией Леви—Чивита) задачи Кеплера, приводящая систему (2.1) на уровне энергии при замене времени к уравнениям гармонического осциллятора. Для случая сферы S3, инвариантными поверхностями на которой в случае задачи Кеплера являются двумерные сферы, аналогичная регуляризация не приводит к такому наглядному результату.

Рассмотрим гномоническую проекцию из центра сферы на плоскость M2. При этой проекции большие дуги на сфере переводятся в отрезки прямых на плоскости. Однако, кроме точек на главном меридиане (при проецировании уходящими в бесконечность), прообразом каждой точки на M2 будут две точки на S2. Формулы, задающие эту проекцию, могут быть записаны в виде

Xi = + , Щ -¦ і = 1,2. (2.5)

v/l-(q,q)AR2'

где q — двумерный вектор.

Гамильтониан (2.1) в переменных х = (xi,x2) и соответствующих им канонических импульсах у = (yi,y2) может быть представлен в виде

Я=і(1 + Лг2)(у2 + Л(у,х)2)-;, (2.6)

где A = I/R — кривизна сферы, г2 = х2 + X2. 196 Глава 2

Произведем (следуя Болину) в (2.6) каноническое преобразование (у,х) і—> (w.z):

X1 = Iizf-4), у1 =

1 "т"

2

W2Z1 - W1Z2

X2 = ZiZ2, у2 = -^-^—,

Z12 + Z2

(2.7)

при котором

Vi + УІ = W\ + W2 , X21 +X22 = Uz21 +Z22)2, Z1 + Z2

(У,х) = i(w,z). Гамильтониан (2.6) при таком преобразовании примет вид

Я =i(l + a(z2+z2)z)

wI + w2 / ч2

2, 22+«(w,Z2 z{ + Z2



Z2 + Z2 '

(2.8)

здесь а = А/4. После замены времени dt/dr = г = (z2 + Z2) на уровне энергии H = h гамильтониан регуляризованной системы может быть представлен в виде
Предыдущая << 1 .. 58 59 60 61 62 63 < 64 > 65 66 67 68 69 70 .. 144 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed