Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
193
1. Алгебра интегралов задачи Кеплера. Остановимся более подробно на задаче Кеплера на трехмерной сфере и в пространстве Лобачевского. В случае плоской задачи Кеплера (в M3) хорошо известна природа ньютоновского (кулоновского) вырождения, обусловленная повышенной (так называемой «скрытой») симметрией задачи Кеплера. Как было показано Баргманом, известные интегралы движения — момент M и вектор Лапласа Рунге Ленца А образуют в этом пространстве алгебру о(4) для отрицательных энергий и о(3,1) для положительных энергий [137].
Уравнения задачи Кеплера на единичной трехмерной сфере S3 (пространстве Лобачевского) можно записать в виде системы (1.16) с гамильтонианом (для S3 и L3) (1.9):
H = i(L2±7r2)+y, V = j ctg в = 7рт, (V = 7Cth0), (2.1) z 111
где мы полагаем, что притягивающий центр помещен в один из полюсов сферы, а «угол» 9 может быть найден из параметризации обычными сферическими (псевдосферическими) координатами.
qi = R sill 9 sin tf sill ф, <І2 <7з = R sin 0 cos ip, go
qi = -Rsh0sin<?sin?/>, q2 q3 = R sh 9 cos <p, qo
В дальнейшем, для простоты мы ограничимся рассмотрением S3, все результаты будут также справедливы для L3 при учете смены знаков и замене тригонометрических функций на гиперболические.
Физическое обоснование задания ньютоновского потенциала в виде (2.1), а гуковского — в виде V = lJtg2O содержится в работах [90, 270, 318]. Эти аналоги могут быть получены из обобщения теоремы Бертрана для пространств постоянной кривизны — только для указанных потенциалов все траектории частицы замкнуты. Ньютоновский (кулоновский) потенциал является также решением уравнения
= R sin 9 sin v3cos ф, ^lrfl43X = .Rcos в. (для Ь
(2.2)
= -Rsh0sin<pcosf/>, , ,.,>, = Rch9. (ДЛЯ L )194
Глава 2
Лапласа—Бельтрами для искривленного пространства
1 д
Sin2 в дв
sin2 в sin2 ip
1 a
Sh2 в дв
sh2 в sin2 <р дф'
которое инвариантно относительно группы SO(S) (не зависит от углов ір.ф) и имеет особенность в полюсе 6 = 0. (Для сферы S3, вследствие компактности, особенность возникает также в противоположном полюсе в = 7г). Эти особенности можно рассматривать как обобщение понятия точечной массы (заряда) в пространстве постоянной кривизны.
Несложно проверить, что в силу инвариантности гамильтониана относительно вращений вокруг фиксированной оси в M4, проходящей через полюса (преобразований группы ?0(3)), уравнения движения имеют векторный интеграл момента L = const, (1.7) компоненты которого образуют алгебру ао(3): {Li,Lj] = SijkLk. Аналог вектора Лапласа—Рупгс—Лспца, обусловленный скрытой симметрией, для этих уравнений был найден в [55]:
А = L X -к + 7
q
(2.3)
q|'
Коммутационные соотношения между LnA имеют вид
{Ai,Aj} = -2sijkLk(H + L2), {Li, Aj] = SijkAk, {Li, Lj] = SijkLk.
(2.4)
Эти коммутационные соотношения задают нелинейную (бесконечномерную) алгебру Ли (по терминологии [55] алгебру Якоби). Ее ранг§ 2. Задача Кеплера
195
равен четырем и она обладает двумя центральными функциями F1 = (L1A)5
F2 = A2 + (L2 + 1)(L2 + 1 + 2Н) - J2 + 1.
В действительном движении выполняется Fi = О,F2= 0. Для плоского пространства нелинейный член в (2.4) исчезает, и на уровне H = E получается алгебра Ли, изоморфная о(4) для E < 0 или о(3,1) для E > 0. Если рассматриваются уравнения, получающиеся при ограничении системы на сингулярную орбиту, то в формулах (2.4) надо предполагать компоненты L, А, выраженными через М, q по формулам (2.10) § 2 гл. 2.
2. Регуляризация. В плоском случае (на M2) известна регуляризация Болина (называемая также регуляризацией Леви—Чивита) задачи Кеплера, приводящая систему (2.1) на уровне энергии при замене времени к уравнениям гармонического осциллятора. Для случая сферы S3, инвариантными поверхностями на которой в случае задачи Кеплера являются двумерные сферы, аналогичная регуляризация не приводит к такому наглядному результату.
Рассмотрим гномоническую проекцию из центра сферы на плоскость M2. При этой проекции большие дуги на сфере переводятся в отрезки прямых на плоскости. Однако, кроме точек на главном меридиане (при проецировании уходящими в бесконечность), прообразом каждой точки на M2 будут две точки на S2. Формулы, задающие эту проекцию, могут быть записаны в виде
Xi = + , Щ -¦ і = 1,2. (2.5)
v/l-(q,q)AR2'
где q — двумерный вектор.
Гамильтониан (2.1) в переменных х = (xi,x2) и соответствующих им канонических импульсах у = (yi,y2) может быть представлен в виде
Я=і(1 + Лг2)(у2 + Л(у,х)2)-;, (2.6)
где A = I/R — кривизна сферы, г2 = х2 + X2.196 Глава 2
Произведем (следуя Болину) в (2.6) каноническое преобразование (у,х) і—> (w.z):
X1 = Iizf-4), у1 =
1 "т"
2
W2Z1 - W1Z2
X2 = ZiZ2, у2 = -^-^—,
Z12 + Z2
(2.7)
при котором
Vi + УІ = W\ + W2 , X21 +X22 = Uz21 +Z22)2, Z1 + Z2
(У,х) = i(w,z). Гамильтониан (2.6) при таком преобразовании примет вид
Я =i(l + a(z2+z2)z)
wI + w2 / ч2
2, 22+«(w,Z2 z{ + Z2
2Т
Z2 + Z2 '
(2.8)
здесь а = А/4. После замены времени dt/dr = г = (z2 + Z2) на уровне энергии H = h гамильтониан регуляризованной системы может быть представлен в виде