Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Борисов А. -> "Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике" -> 63

Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.

Борисов А. , Мамаев И.С. Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике — Удмуртский университет, 1999. — 470 c.
Скачать (прямая ссылка): puassonistrukturiialgebri1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 144 >> Следующая


(1.18)

{Li,Xj} — Eijh'Xk, {TTi,'Xj} — =F HSij — Xi'Xj/R,

Алгебра (1.18) принадлежит к квадратичным алгебрам Якоби [55, 206].

3. Редуцированные уравнения для S3. Для случая динамики точки на S3 возможна еще одна форма уравнений движения, которая связана с существованием вещественного разложения:

so(4) и so(3)®so(3).

Переменные, соответствующие слагаемым, задаются формулами

Mi = I(TTi-Li), Ni = ±(wi+Li). (1.19)

В таком представлении алгебра е(4) разлагается в сумму двух пересекающихся семимерных подалгебр /(М, q), /(N, q). Каждая из них представляет собой полупрямую сумму алгебры вращений so(3) и абелевой алгебры трансляций M4 — ,<so(4) ©s M4:

{Мі, qi} = -\(?ijkqk + qnoij), [Ni, <f} = \(smqk - ^Sij), [Mi, Mj} = -SijhMh, {Ni, Ni} = SijhNh,

{.Mi,

{Mi, Nj) = 0, {q>\,q"} = 0.

(1.20)

Отметим изоморфизм подалгебры l(Mi,q°, q) (1.20) и алгебры (2.7) § 2 гл. 2 задачи о движении твердого тела в кватернионном описании (при этом Mi —У Mi, q? -»¦ \?). § 1. Задача Кеплера Уравнения движения на алгебре I (М, q) имеют вид:

191

(1.21)

Аналогично можно записать уравнения движения на подалгебре Z(N. q), учитывая, что на сингулярной орбите M2 = N2.

Для случая пространства Лобачевского аналогичное представление уравнений движения частицы на семимерной подалгебре невозможно в силу того, что алгебра ,чо(1,3) не разлагается в прямую сумму алгебр над полем вещественных чисел.

Для решения конкретных задач необходимо задать вид потенциала V(q). В следующих параграфах приведены различные типы потенциалов, являющихся аналогами соответствующих потенциалов в евклидовом пространстве E3 и разобраны обобщения задач классической небесной механики.

Замечание 3. Указанное разложение позволяет установить аналогию между задачей о движении частицы в S3 и задачей о движении сферического волчка вокруг неподвижной точки (§ 6, гл. 2). Для этого выразим гамильтониан (1.9) (для S3) через M по формуле 7t2 + L2 = 4M2, которая справедлива только на симплектическом листе W2 = 0:

Аналогия между движением сферического волчка и точки на трехмерной сфере другими способами была установлена в работах [17, 81]. В [81] с помощью этой аналогии отмечен интегрируемый потенциал четвертой степени на S3, порождаемый одной интегрируемой задачей в динамике твердого тела (см. § 10 гл. 2).

§ 2. Задача Кеплера. Алгебра интегралов,

регуляризация, переменные действие-угол.

Задача о движения материальной точки в пространстве постоянной кривизны впервые изучалась Н.И.Лобачевским, который с помощью геометрических соображений обобщил закон всемирного тяготения (точнее, получил аналог силы ньютоновского притяжения) для про-

H = 2М2 + U{q). 192

Глава 2

странства постоянной отрицательной кривизны (пространства Лобачевского). Интегрируемость задачи Кеплера на трехмерной сфере S3, которую А. Эйнштейн предлагал использовать в качестве модели реального пространства, была указана Э. Шредингером [167]. Он также провел ее предварительное исследование, необходимое для целей последующего квантования. Интересно привести его соображения по этому поводу:

«Может показаться безрассудным принимать во внимание ничтожную кривизну Вселенной, имея дело с атомом водорода, потому что влияние даже таких значительно более сильных гравитационных полей, при наличии которых в действительности происходят все наши наблюдения, пренебрежимо мало. Но эта задача, вследствие возможности стирания в ее рамках резкой границы между «эллиптическими и гиперболическими орбитами» (классические орбиты здесь все замкнуты) и представления непрерывного спектра посредством густо заполненного линейчатого спектра, имеет весьма интересные черты, которые оказываются здесь едва ли более сложными, чем в плоском случае».

Со своей стороны заметим, что изучение динамики в искривленном пространстве важно хотя бы потому, что позволяет глубже понять динамику в обычном плоском пространстве, уравнения движения в котором обладают дополнительной замечательной симметрией — они инвариантны относительно группы преобразований Галилея.

Обобщение законов Кеплера для S3 и L3 приведено в работах Н. А. Черникова [221] (для L3) и В. В. Козлова [90] (для S3 и L3). Аналог уравнения Кеплера для движения в S3 несколько ранее был получен в работе П.Хиггса [250] с использованием гномонической проекции. В работах [90, 318] аналог ньютоновского и гуковского потенциалов получены из теоремы Бертрана для S3 и указана аналогия с движением шарового волчка. В работе [270] доказана интегрируемость движения частицы на двумерной сфере S2 в поле двух неподвижных гравитиру-ющих ньютоновских центров (задача Эйлера).

Свободное движение двумерного твердого тела на плоскости Лобачевского изучалось Н.Е.Жуковским [62]. Он показал, что уже в этой простой ситуации не справедлива теорема Бернулли, согласно которой в плоском пространстве движение центра масс твердого тела отделяется от вращения вокруг центра масс. Отсутствие понятия центра масс в искривленном пространстве приводит, вообще говоря, к различному поведению классических задач и их аналогов в искривленном пространстве. § 2. Задача Кеплера
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 144 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed