Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
в = -Щг. V = —--x sin 6 — z cos 0. (12.14)
дв' 2 sin2 в 182
Глава 2
Система (12.14) эквивалентна приведенной системе для сферического маятника в осесимметричном поле U = —хятв — гсшв. Качественный анализ решения (12.13) содержится в [101], где разобранная задача и редукция Дирака рассматриваются в канонических переменных.
При X = 0 в (12.9) задача Дирака имеет бесконечное множество решений (Л произвольно). В этом случае M3 — первый интеграл, поэтому редукция Дирака должна быть заменена редукцией по симметриям (см. §§8,9 гл. 1). Однако, если произвести предельный переход непосредственно в лагранжевой форме (12.6), предположив, что
l = +?w|) -?7i -*7з, (12.15)
и є —> 0, получим уравнения «ограниченной задачи динамики твердого тела». Физический смысл предельного перехода и геометрическая интерпретация движения в этой задаче обсуждаются в [58, 97].
Cji = ^2W3 + Zj2,
uj2 = -ujiuj3 — Z71,
Г ' (12.16)
^3 = -72,
7 = 7 X UJ.
Уравнения (12.16) при z = 0 исследованы в [97], где методом расщепления сепаратрис показана их неинтегрирусмость, в [28] приведены картинки стохастического поведения.
В общем случае, когда z ф 0, система (12.16) является квазиоднородной, в смысле [338], и имеет следующие наборы частных решений UJi = UJ0iJt, 7i = 7где
=0, ші= 0, UJ% = 2 і, Tlu = 2, 7« = 2І, J3 = 0;
и
UJ01 = 0, UJI= 2 і, = 0,
_,о _ 2і о _ л о,о _ 2
Ti - 72 - 0, 7з - J-
Показатели Ковалевской, соответствующие выбранным частным решениям, имеют вид:
P = (-1,0, l,pi,p2,pz), § 12. Ограниченные задачи динамики твердого тела и механика Дирака 183
где (рі,р2,рз) являются корнями кубического уравнения р3 — 9р2+26р— — (24 + 8z) = 0, решения которого при любых z имеют сложный алгебраический вид. Это. видимо, препятствует существованию у системы (12.16) алгебраических интегралов движения.
3. Твердое тело в суперпозиции однородных полей. Редуцированные кватернионные уравнения для твердого тела в суперпозиции однородных силовых полей (см. §5), могут быть записаны в лагранже-вом виде
if = f x.+ f х7+4е,хс,
dt ои> ой; OrJ (12.17)
7 = 7 x ш,
с лагранжианом
Ь=\(ш2 + и;2 + єи>1) - І(cl7l2 + C212). (12.18)
Выполняя предельный переход є —У О в (12.18), снова приходим к динамической системе, вырожденной по (квази)скоростям. Использование процедуры Дирака приводит (при c1 ф C2 ф 0) к одной первичной и одной вторичной связям:
M3 = 0, 7! = 0 (или 72 = 0). (12.19)
Условия совместности приводят к исследованию системы с гамильтонианом
H = \ (M2 + M2) +I (c172 + c2722) + A M3 + ,I11, (12.20)
при А = M2l3Jl2, р, = 0. Уравнения движения
M1 = Щ^ - C2l2l3 - ^2M2,
12 7з
M2 = +F2M1, (12.21)
12 7з
ъ = rYsM1, 7з = 72 M1 184
Глава 2
с помощью замены 72 = sin (9, 73 = coso приводятся к одному уравнению
- C2 sino сок (12.22)
sm в cos в \ gin 0 cos2
которое легко интегрируется.
Если в уравнениях (12.17), (12.18) с; —>¦ єсі, є —>¦ 0, то, с точки зрения процедуры Дирака, задача вновь поставлена некорректно. Предельный переход, выполненный непосредственно в системе (12.17), приводит к следующим уравнениям ограниченной задачи
F
wi = w2 w3---w2,
T32
F
uj2 = -wi uj3 + -wi, (12.23)
^3 = (сі - с2)7і72,
7 = 7 X w.
Система (12.23) имеет интегралы
F = (wi7i + w272)73, w2 + w| = 2 h, 72 + 72 + 72 = 1. Вводя новые переменные по формулам
wi = л/2/ї sin if, w2 = \/2/!cos?, и используя выражения 71,7г через 73,73,^, получим 1 (FUJ1 . \ if FUJ2
= — —--Ь rWtUJo . Т9 = — I —-
71 = жV^r+73wV' 72 = жV^r^173
Из геометрического интеграла получается дифференциальное уравнение для 73:
2hj2j2 = 4ft27f(l - 732) - 2F2h,
которое решается с помощью эллиптических функций. Как и в [97], ис-
; F , пользуя ? = W3---, для ? получается гамильтоново уравнение малт-
T32'
никова типа с периодическим по времени возмущением. Это уравнение также не является интегрируемым. § 12. Ограниченные задачи динамики твердого тела и механика Дирака 185
Отметим, хотя обе постановки ограниченной задачи (12.16), (12.23) сводятся к исследованию неавтономных гамильтоновых уравнений, непосредственно предъявить вид пуассоновой структуры для них видимо невозможно (она не получается из скобки Ли—Пуассона алгебры е(3) при помощи предельного перехода). Аналогичный предельный переход, приводящий к интегрируемой и априори негамильтоновой системе, рассмотрен в приложении А. Глава З
Гамильтонов формализм в небесной механике
§ 1. Движение нерелятивистской частицы в пространствах постоянной кривизны
В этом параграфе мы рассмотрим уравнения динамики материальной точки единичной массы, движущейся по трехмерной сфере s3 и в пространстве Лобачевского l3 (псевдосфере) [30]. Эти пространства (вместе с евклидовым e3) являются пространствами максимальной (шестипараметрической) группы движений и имеют постоянную гауссову и главные кривизны. Сфера является орбитой группы so(4), а псевдосфера — группы 50(3,1).
1. Канонический формализм в избыточных переменных.
