Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
fO2
Le = ?o(q,q,Q) + -f- (12.1)
где є — малый параметр. При є = 0 получается вырожденная по Q система. Следуя § 9 гл. 1 получим связи и гамильтоновы уравнения движения. Первичной связью будет служить
P=dL
= 0.
є=0
dQ
Вторичная связь получается из условия совместности
{Р,Но} =-^i= 0, (12.2)
где #о(р, q, Q) = pq L0 |q—>р .
Пусть Q = /(р,q) — решение уравнения (12.2). Это дает возможность вторичную связь представить в виде уравнения Ф = Q - /(q, Р) = 0, причем {Р, Ф} = -1 ф 0.
Используем форму уравнений с неопределенным множителем. Гамильтониан H является суммой Hq+\P+h(Q — /), а коэффициенты Л, /х однозначно находятся из условий совместности
{Р,Я} = {Р,Я0 }-//, = о, {Q - f,H} = ~{f,H0} -A = O. § 12. Ограниченные задачи динамики твердого тела и механика Дирака 179 Таким образом,
р = Л = {Я0,/}.
Уравнения Гамильтона со связями примут вид
.=_дЩ .дЩ
Р Oq ' 4 dp ' (12.3)
P = О, Q = f,
где #o(p,q) =ffo(p,q,Q) Iq=/ •
Обоснованность механики Дирака вытекает из следующих рассуждений. Если функцию Гамильтона полной системы (є ф 0) обозначить через H, то
Я = #о(р, q) + g + (р, q, Q, є). Соответствующие канонические уравнения будут
dl In dq di I1 6 dq ' <І = dH0 dp + ?dHl dp
dHQ dQ BH1 є BQ ' Q = P s "
P= -
P = -
Решением (12.4) служат формальные ряды
р = po (t) + Sp1 (t,) H----, q = qQ(t) + Sq1 (t) H----,
P = SP1(I) + --- , Q = f(po(t):qo(t)) + SQ1(I) +
(12.4)
(12.5)
где po(t),qo(t) удовлетворяют уравнениям (12.3). Эти ряды не всегда сходятся. Но в случае, если для начальных данных выполнено условие dHo/dQ = 0, определяющего вторичную связь, уравнения (12.4) перестают быть сингулярными, ряды будут сходиться, а вместо импульса P следует взять новую переменную P/s. Случай, когда усло-dH
вие = 0 выполнено тождественно, является особым. (При этом P
является интегралом системы при є = 0). Уравнения (12.5) описывают в этом случае решение для Pjs и Q, которые не удовлетворяют (12.3), и вообще каким-либо гамильтоповым уравнениям (при этом, как прави-
ло '^jQ = f) ¦ Эта ситуация соответствует так называемым ограниченным задачам типа ограниченной задачи трех тел в небесной механике. 180
Глава 2
Рассмотрим две задачи динамики твердого тела, в которых производится предельный переход в инерционных характеристиках твердого тела двумя различными способами. В одном случае он эквивалентен наложению связей в фазовом пространстве и дает возможность использовать процедуру Дирака. При этом как первоначальная скобка, так и скобка Дирака , являются вырожденными. В другом — получающаяся предельная система, которая не может быть получена процедурой Дирака и априори пегамильтопова (ограниченная задача динамики твердого тела).
2. Движение твердого тела в осесимметричном поле. Уравнения движения твердого тела с неподвижной точкой в лагранжевом виде можно записать в виде уравнений Пуанкаре на группе 50(3) (см. § 1)
adl = dlxu)+dlx
dt диі ды $7 (12.6)
7 = 7 x. ш,
лагранжиан задачи в случае осесимметричного твердого тела можно представить в форме
L = \{u\+ W22 + єиі?л) - X71 - z73, (12.7)
где ? характеризует отношение моментов инерции осесимметричного тензора инерции, (х, 0,z) — координаты центра масс. При є —> 0 (обоснование возможности придать механический смысл этому предельному переходу см. в [101]) обычный переход от уравнений Пуанкаре (12.6) к уравнениям Пуанкаре—Четаева (см. § 6 гл. 1) с помощью преобразования Лежандра теряет смысл и получается первичная связь
M3 = ^
Oui3
= 0.
е=0
Введем функцию Гамильтона, выраженную через Mi
M2 = I^
OUi2
дЬ dull'
н = + "2dt2 ~L = 2(M1 + m^ + z73 + ®71- (12,8)
При этом скобка Пуассона определяется алгеброй е(3). Полагая Н* = = h + xm3, получим условие совместности
m3 = {m3, h*} = -z72 = 0 (12.9) § 12. Ограниченные задачи динамики твердого тела и механика Дирака 181
и вторичную связь 72 = 0.
Определим новый гамильтониан Н* = H + XM3 + /X72. Из условия совместности связей
M3 = {М3,Н} = 0, 72={72,Я}=0,
получим Л = М173/71, ^ = O (как отмечалось в §9 гл. 1, вторичная связь не сказывается на уравнениях движения). Можно составить уравнения движения, пользуясь скобкой Дирака, вычисленной по формуле (9.3) § 9 гл. 1 и гамильтонианом H (12.8)
{M1,M2}D = M1^, {M1,M3}d = -2M2, {M2,M3}d = 2M1,
{МІ,7І}в=0, {МІ,72}В = 2Тз, {МІ, 7з}jj = 0,
{M2,J1}D = -73, {М2, 72}d = 0, (M2^3)d=J1,
[M3, j1Id=O, [M3,j2\d = -271, {M3,j3}d = 0,
{li-,lj}D = 0,
(12.10)
или, записывая уравнения движения на алгебре е(3) с функцией Гамильтона Н*. В обоих случаях получим систему
¦ M1M2j3 ¦ 2 7з
M1 = ^-, M2 =-M1-+j3x-j1Z, (12л1)
7i = -73 M2, 7з = -Ji M2,
имеющую, кроме интеграла энергии и связей, геометрический интеграл и интеграл площадей
722 + 732 = 1, M1j1 = C. (12.12)
Из (12.12) вытекает, что j1 = sino, 73 = coso и поэтому в = -M2. Выражая M1 = СIj1, получим уравнение для в:
в = cos в + X cos в -Z sin в, (12.13)
sin в
которое можно записать в лагранжевой (гамильтоновой) форме с одной степенью свободы:
