Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
Введение
теоремы А.М.Ляпунова [111] для случая движения твердого тела вокруг неподвижной точки в суперпозиции однородных силовых полей. В этой главе указаны также изоморфизмы между различными динамическими проблемами и рассматриваются вопросы, связанные с введением канонических координат (§8), получением интегрируемых геодезических потоков на двумерной и трехмерной сферах при помощи интегрируемых задач динамики твердого тела (§ 7) и предельными задачами динамики (§12).
Глава 3 посвящена анализу движения материальных точек и твердых тел в трехмерных пространствах постоянной кривизны. Постановка вопросов об исследовании движения в этих пространствах восходит еще к Н.И.Лобачевскому и Э.Шредингеру, новое развитие эта тематика получила в работах П. Хиггса, Н.А.Черникова, В.В.Козлова. Здесь мы приводим все известные к настоящему времени интегрируемые задачи в искривленной небесной механике, а также частные решения (типа точек либрации) и ограниченные постановки неинтегрируемых задач.
В главе 4 рассматриваются пуассоновы структуры, возникающие в задачах о движении вихрей па плоскости и сфере. Указан траектор-ный изоморфизм интегрируемой задачи о движении трех вихрей (на плоскости и сфере) и системой Лотки—Вольтерра, возникающей в математической биологии. В § 4,5 исходя из новой формы динамических уравнений выполнена классификация движений в интегрируемой задаче трех вихрей на плоскости и сфере. Указаны сферические аналоги стационарных конфигураций и частных решений классической задачи о движении точечных вихрей па плоскости.
В главе 5 анализируются многочастичные системы — обобщенные цепочки Тоды и Вольтерра, системы Мозера Калоджеро и обсуждаются различные формы записи этих уравнений в гамильтоповой форме. Особое внимание уделено условиям интегрируемости этих систем в связи с существованием бигамильтонова описания и построения представления Лакса—Гейзенберга.
В конце книги приведены приложения по различным разделам га-мильтоновой механики и сформулированы нерешенные задачи. Последнее приложение посвящено новому методу приведения плоской задачи трех тел из небесной механики, основанному на предварительной ал-гебраизации этой задачи. Введение
15
Рассматривая различные конкретные задачи мы, как правило, не ограничивали себя рамками формальных построений и пытались прояснить качественные и геометрические особенности их поведения. Для интегрируемых систем мы даем наглядную топологическую и геометрическую интерпретации. Для анализа неинтегрируемых систем применяются численные методы построения отображений Пуанкаре.
В книге приведены новые примеры нелинейных скобок Пуассона, возникающие при анализе классических задач гамильтоновой механики. Тематика, связанная с нелинейными скобками Пуассона является сравнительно новой и в российской научной литературе обсуждается лишь в книге [71], посвященной, в основном, вопросам квантования. По линейным скобкам имеется уже обширная литература [18, 152, 156, 157].
Многие разделы теории скобок Пуассона в книге почти не затронуты. Это относится к нормальным формам пуассоповых структур в особых точках [2, 224], бесконечномерным интегрируемым системам [131], теории r-матриц и ее приложениям [132] и др. Более формальное и подробное изложение некоторых затронутых вопросов читатель может найти в недавно вышедших книгах [288, 331].
Большинство результатов, изложенных в книге, являются оригинальными. Они возникли в результате работы семинара по нелинейной динамике в Удмуртском государственном университете.
Мы прежде всего благодарны В. В. Козлову, который постоянно поддерживал нас на протяжении всей нашей научной деятельности, а также А. В. Болсинову, который помог нам в разрешении самых сложных вопросов.
Мы также выражаем глубокую благодарность за полезные научные обсуждения и консультации X. Арефу, В. И. Арнольду, А. А. Бе-лавину, А. П. Веселову, Ю.А.Данилову, Б.А.Дубровину, С. Л. Дудола-дову, С. Л. Зиглипу, О. В. Маптурову, М. А. Ольшапецкому, O.E.Орёл, В.П.Павлову, П.Е.Рябову, М. А. Семенову-Тян-Шанскому, В.С.Сидоренко, Ю.Н.Федорову, А.Т.Фоменко, А.Шенсинеру. Часть расчетов §8 гл. 2, а также некоторые ссылки были сделаны А. Е. Павловым.
Авторы благодарны также своим ученикам — А. А. Килину, В. Г. Лебедеву, Н. Н. Симакову, А. Г. Холмской, В. А. Чернойвану — которые помогли нам написать отдельные разделы книги и А. В. Широбокову за набор и макетирование книги, что оказалось совсем непростым делом.
А. В. Борисов, И. С. Мамаев Глава 1
Скобки Пуассона и гамильтонов формализм
§ 1. Определение и примеры скобок Пуассона. Скобки Ли—Пуассона
1. Скобки Пуассона и их свойства. Многие задачи динамики
допускают запись в гамильтоновой форме
* = Н = Н(Р'Ч)' (11)
где канонические координаты (q, р) определены на некотором четно-мерном многообразии (q, р)бМ2'" — фазовом пространстве (dimM= п). Функция H называется гамильтонианом. Если ввести скобку Пуассона двух функций F и G по формуле
{Fr\-S^fdFdG OFOG\
г 4 '
то уравнения (1.1) можно переписать в виде
