Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
Указанный в [18,104] аналог случая Ковалевской на алгебрах so(4), so(3,1) также контрагируетсл в классический случай. Для него несложно найти разделяющиеся переменные, однако вопрос о линейном изоморфизме этих случаев, видимо, пе изучен. Интегрируемый случай Адлера и ван Мербеке [177], существующий на ,чо(4), является примером, не выдерживающим контракции на е(3).
5. Построение интегрируемых систем на римановых симметрических парах. Таким образом, общая схема получения интегрируемых систем на римановых симметрических парах (G,H) может быть сформулирована следующим образом.
Для скобки (10.14) выписывается полная система функций Казимира, которые определяются параметрами элемента сдвига аргумента. Среди этих функций затем отбираются динамические системы на H (или на G) имеющие реальное физическое обоснование возможно, после редукции на линейные интегралы, которыми обладает первоначальная система.
Этот рецепт во многом аналогичен схеме Адлера Костанта Сим-са (Adlcr—Kostant—Symcs (AKS)) [324], и обобщающему ее методу 174
Глава 2
r-матрицы [132, 311, 146], в которой, однако, все рассуждения проводятся для систем в форме L — А-пары и связаны с методом орбит в теории групп и алгебр Ли. В методе r-матрицы элементы операторов L, А принадлежат, как правило, бесконечномерной алгебре петель.
Интегрируемые системы на римановых симметрических парах, указанные в работах [139, 140, 310, 311] (и связанные, например, с системами взаимодействующих волчков), также могут быть получены указанным выше способом.
Замечание 2. При указанном выше способе построения L — А-пары, свя-запом с существованием согласованной пуассоповой структуры (как и для способа §9), полнота инволютивного семейства интегралов будет следовать из теоремы Болсинова (§5 гл. 1). Для L — А-пары со спектральными параметром, полученной иным способом, полноту инволютивного семейства интегралов надо доказывать, что может являться непростой комбинаторной проблемой [252]. Полнота инволютивного семейства, полученного с помощью формализма алгебры петель [309], хотя и следует из общей схемы этого метода, не является естественной. Она связана с возможностью линеаризации системы на многообразии Якоби.
Особенно отметим интегрируемую на so(4) систему (описывающую движение тела с полостями, имеющие вихревое жидкое заполнение уравнения Пуанкаре Жуковского), найденную Адлером, ван-Мербеке [177] и Реймапом, Семсповым-Тяп-Шапским [310] различными способами. Первые авторы исходили из метода Ковалевской и нашли дополнительный первый интеграл, имеющий сложную алгебраическую структуру и до сих пор не поддающийся упрощению. Вторые — рассмотрели риманову симметрическую пару (G2, so(4)), и предъявили представление в виде L — А-пары со спектральным параметром. Кроме того, как заметил А. В. Болсинов, до работ [177, 310] рассматриваемый случай был известен в общей конструкции сдвига аргумента (см. [152]). Однако эквивалентность этих систем так и не была отмечена [152]. Этот пример показывает также, что первые интегралы не всегда являются наиболее простыми и естественными тензорными инвариантами системы.
Формальные многомерные обобщения случая Ковалевской, связанные с системой двух взаимодействующих волчков на so(p) и so(q),p > q и парой (so(p,q),so(p) ® so(g)) получены в работах [312].
Замечание 3. Изложенным методом можно также получить представление Лакса—Гейзенберга для волчка Манакова на во(п) и случая Клебша на е(п), отличное от указанного в § 9. §11- Движение твердого тела по гладкой плоскости
175
Большинство разобранных в двух последних разделах примеров так или иначе связаны с динамикой твердого тела и используют конструкции лиевых пучков и римаповых симметричных пар. Вопрос о применимости этих конструкций к другим задачам, например, многочастичным системам (гл. 5) остается открытым. Например, для цепочки Тоды известно как L — А-представление, так и соответствующая бигамильтопова (даже тригамильтопова) структура, однако связь между ними не является такой же естественной. Возможно, что происхождение бигамильтоновой структуры (и соответствующих ей тензорных инвариантов) связано в таких системах с бигамильтоновос-тью соответствующих бесконечномерных аналогов (типа уравнений Кортевега—де Фриза). Хорошо известно, что многочастичные системы могут быть получены из них при помощи дискретизации [322]. Соображения такого сорта высказаны в [180, 181]. Кроме того, представления Лакса—Гейзенберга для многих систем (например, для волчка Ковалевской) могут быть получены другими способами и не связаны непосредственно с групповой и алгебраической техникой. Приведенные в работах [234, 247, 160, 272] представления в виде L — А-пары имеют алгсбро-гсомстрическое происхождение и не наследуют естественной алгебраической (в смысле структуры Ли—Пуассона) структуры уравнений движения. Значение этих представлений динамики не совсем понятно. На этом пути возникают также возможные обобщения представлений Лакса—Гейзенберга вида L = [L, [L,A]] или L = = [L, А] + В [195, 302, 330].
