Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Борисов А. -> "Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике" -> 57

Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.

Борисов А. , Мамаев И.С. Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике — Удмуртский университет, 1999. — 470 c.
Скачать (прямая ссылка): puassonistrukturiialgebri1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 144 >> Следующая


В качестве доказательства укажем явно процесс сведения к L — A-паре. Используя разложение х = h + v, df = ? + /у (/і,,? Є H, v,rj Є V), векторное поле Vf = {*, df \a?-y можно представить в виде

h = (a+?m,h} + [i1,h})+7[i1,a]

v = {a+?)[?,h] + a[r,,h]+ 7[?,а]. 170

Глава 2

Эквивалентным L — А-представлением является

jj~t(\h + nv + иа) =

? ті

т + 77, Xh + ?v + иа

a Tl

где А =

7

<* + ?' \f а(а + ?)' {a + ?)y/a(a + ?) может также быть записана в виде

(10.12) . Формула (10.12)

А

dt \\1 а + ?



а + ?

= (a + ?) или форме L = [L, А], где

a + ? V a + ? а + ?

а + ?

h + v +

а + ?

а,

А = (а + ?) U +

а

а + ?

Рассмотрим в качестве следствия частный случай 7 = а, ? = 1 и соответствующее ему семейство скобок {•, + а({-, •} + {-, -}а). Бига-мильтопова относительно этого семейства система допускает представление Лакса—Гейзенберга, где

L = Xh + V + A2O, A = (а+ !)(?, +Xi]).

При этом А =

а + 1

, а ?+г) дифференциал гамильтониана исходной

системы с рассматриваемой скобкой. В этом случае также необходимо, чтобы а / -1.

3. L — A-napa системы Вруна. В качестве примера рассмотрим получение L — А-пары системы (10.7), которую запишем в виде

M = [М,ш] - [и, I] й = \и,и> 1.

(10.13)

В этом случае G = g(3), H = so(3), V пространство симметрических матриц размера 3x3. § 10. L — А-пары и бигаліильтоновость: картановское разложение 171

Для применения рассмотренной схемы необходимо ввести следующие переобозначения M f> /( Є so(3), и -f+ v Є Sym (симметрическая алгебра 3 х 3), В «-»¦ а Є Sym, —/ О г] Є Sym, w «-»¦ ? Є so(3). При этом для матриц і? и w выполнены следующие соотношения

[в, і] = о, = рад.

В силу представления (10.8) система (10.13) является гамильтоновой относительно любой из скобок

{¦,¦}о+ "({¦,¦}+ {¦,¦}*), а Ф-1. (10.14)

а

ни. ішлаї ам кап и выше л — А ( —

Vo

мильтониан вида

Действительно, полагая как и выше А = ,/—^-г, рассмотрим гаек + 1

Ha = ^j(l(M,io)-(I,u)). (10.15)

Непосредственной проверкой можно убедится в том, что гамильто-нова система со скобкой (10.14) и гамильтонианом (10.15) совпадает с (10.13).

4. Волчок Ковалевской и его обобщения. Как было указано в § 1 гл. 2, наиболее естественное представление для обобщенного случая Ковалевской было указано в работах [141, 137]. Получим его с помощью изложенного метода. В качестве алгебры G рассмотрим алгебру so(3,2) матриц размера 5x5 таких, что Xt = —IXI, X Є so(3,2),

X = (^x ^^ ! 7rI ? so(3): Є so(2) S — матрица размера 3x2,1 —

некоторая постоянная 5x5 матрица вида (^т ^ • В разложении Kap-

тана подалгебра H является прямой суммой so(3) ® so(2). V состоит из / 0

матриц вида I ^t ^

В переменных М, а. ? уравнения движения обобщенного волчка Ковалевской в двух однородных полях задается гамильтонианом (см. §4)

Я = і (M2 + M2 + 2M2) - O1 - ?2 (10.16) 172

Глава 2

и скобкой Пуассона, определяемой алгеброй ,чо(3) ® K6 (перед компонентами а, ? в (10.16) произвольных констант х, у можно не писать, в силу инвариантности структкры этой алгебры по отношению к преобразованиям подобия а -> ха, ? -> y?, изменяющим только орбиту.

Представление Лакса—Гейзенберга системы (10.16) можно представить в виде

Il = / 0 -M3 M2 M3 0 -M1 -M2 M1 0 0
\ 0 0 Mi Mi 0

/ 0 2М3 —2М3 0 M2 M1 0 \ / 0 1 0 0 1
u) = M2 -M1 0 , / = 0 0
0 0 0 1 0 0 0
I 0 0 ) I 0 1 0

L = Xh +V + X2I, А = и) - XI.

L — А-пара волчка Ковалевской, найденная в [141], получается из (10.17) при помощи процедуры редукции, приведенной в § 8 гл. 1 (раздел 4). Для этого необходимо исследовать интеграл Mi + M3 = С. Как несложно проверить, приведенные уравнения совпадают с обобщенным случаем Ковалевской (§4 гл. 2) на алгебре so(3) ®s K6 = {M,a,?} и гамильтонианом

H = !(M12 + M22 + 2M2 - 2M3C) -U1- ?i. (10.18)

Постоянную циклического интеграла С можно интерпретировать как вектор гиростатического момента. L — А-пара этой интегрируемой системы получается, если заменить в матрице L переменную Mi на С — M3, а матрицу А представить как дифференциал

^при этом = O^. Полный набор первых интегралов может быть получен при разложении Tr Lk по спектральному параметру. § 10. L — А-пары и бигаліильтоновость: картановское разложение 173

Замечание 1. Гамильтониан (4.9) случая Ковалевской является функцией Казимира для скобки

{;¦}<>-{;¦}-{;¦}!¦

Отметим, что описанная процедура редукции проведенная для алгебры (so(3) ® so(2)) ®SK6, входящей в пучок, не может быть проведено одновременно для всех скобок пучка, и соответственно, не может индуцировать новую (редуцированную) бигамильтонову структуру. По-видимому, волчок Ковалевской (в отличие от интегрируемых систем, рассматриваемых ранее), вообще не допускает бигамильтонова описания. Интересно было бы найти к этому алгебраические или даже аналитические (исследуя систему вблизи особой точки или цикла) препятствия.

Со своей стороны сделаем лишь одно замечание. Бигамильтоно-вость систем Ляпунова—Стеклова, Клебша, Манакова была обусловлена их определенной вырожденностью в том смысле, что соответствующие системы допускают интегрируемые обобщения на целом семействе алгебр Ли. Причем в этом семействе существовали две неизоморфные алгебры (например, so(n) и е(п — 1)) для волчка Манакова), а соответствующие интегрируемые случаи переводились друг в друга контракцией или даже линейным преобразованием.
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 144 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed