Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
В качестве доказательства укажем явно процесс сведения к L — A-паре. Используя разложение х = h + v, df = ? + /у (/і,,? Є H, v,rj Є V), векторное поле Vf = {*, df \a?-y можно представить в виде
h = (a+?m,h} + [i1,h})+7[i1,a]
v = {a+?)[?,h] + a[r,,h]+ 7[?,а].170
Глава 2
Эквивалентным L — А-представлением является
jj~t(\h + nv + иа) =
? ті
т + 77, Xh + ?v + иа
a Tl
где А =
7
<* + ?' \f а(а + ?)' {a + ?)y/a(a + ?) может также быть записана в виде
(10.12) . Формула (10.12)
А
dt \\1 а + ?
а + ?
= (a + ?) или форме L = [L, А], где
a + ? V a + ? а + ?
а + ?
h + v +
а + ?
а,
А = (а + ?) U +
а
а + ?
Рассмотрим в качестве следствия частный случай 7 = а, ? = 1 и соответствующее ему семейство скобок {•, + а({-, •} + {-, -}а). Бига-мильтопова относительно этого семейства система допускает представление Лакса—Гейзенберга, где
L = Xh + V + A2O, A = (а+ !)(?, +Xi]).
При этом А =
а + 1
, а ?+г) дифференциал гамильтониана исходной
системы с рассматриваемой скобкой. В этом случае также необходимо, чтобы а / -1.
3. L — A-napa системы Вруна. В качестве примера рассмотрим получение L — А-пары системы (10.7), которую запишем в виде
M = [М,ш] - [и, I] й = \и,и> 1.
(10.13)
В этом случае G = g(3), H = so(3), V пространство симметрических матриц размера 3x3.§ 10. L — А-пары и бигаліильтоновость: картановское разложение 171
Для применения рассмотренной схемы необходимо ввести следующие переобозначения M f> /( Є so(3), и -f+ v Є Sym (симметрическая алгебра 3 х 3), В «-»¦ а Є Sym, —/ О г] Є Sym, w «-»¦ ? Є so(3). При этом для матриц і? и w выполнены следующие соотношения
[в, і] = о, = рад.
В силу представления (10.8) система (10.13) является гамильтоновой относительно любой из скобок
{¦,¦}о+ "({¦,¦}+ {¦,¦}*), а Ф-1. (10.14)
а
ни. ішлаї ам кап и выше л — А ( —
Vo
мильтониан вида
Действительно, полагая как и выше А = ,/—^-г, рассмотрим гаек + 1
Ha = ^j(l(M,io)-(I,u)). (10.15)
Непосредственной проверкой можно убедится в том, что гамильто-нова система со скобкой (10.14) и гамильтонианом (10.15) совпадает с (10.13).
4. Волчок Ковалевской и его обобщения. Как было указано в § 1 гл. 2, наиболее естественное представление для обобщенного случая Ковалевской было указано в работах [141, 137]. Получим его с помощью изложенного метода. В качестве алгебры G рассмотрим алгебру so(3,2) матриц размера 5x5 таких, что Xt = —IXI, X Є so(3,2),
X = (^x ^^ ! 7rI ? so(3): Є so(2) S — матрица размера 3x2,1 —
некоторая постоянная 5x5 матрица вида (^т ^ • В разложении Kap-
тана подалгебра H является прямой суммой so(3) ® so(2). V состоит из / 0
матриц вида I ^t ^
В переменных М, а. ? уравнения движения обобщенного волчка Ковалевской в двух однородных полях задается гамильтонианом (см. §4)
Я = і (M2 + M2 + 2M2) - O1 - ?2 (10.16)172
Глава 2
и скобкой Пуассона, определяемой алгеброй ,чо(3) ® K6 (перед компонентами а, ? в (10.16) произвольных констант х, у можно не писать, в силу инвариантности структкры этой алгебры по отношению к преобразованиям подобия а -> ха, ? -> y?, изменяющим только орбиту.
Представление Лакса—Гейзенберга системы (10.16) можно представить в виде
Il = / 0 -M3 M2 M3 0 -M1 -M2 M1 0 0
\ 0 0 Mi Mi 0
/ 0 2М3 —2М3 0 M2 M1 0 \ / 0 1 0 0 1
u) = M2 -M1 0 , / = 0 0
0 0 0 1 0 0 0
I 0 0 ) I 0 1 0
L = Xh +V + X2I, А = и) - XI.
L — А-пара волчка Ковалевской, найденная в [141], получается из (10.17) при помощи процедуры редукции, приведенной в § 8 гл. 1 (раздел 4). Для этого необходимо исследовать интеграл Mi + M3 = С. Как несложно проверить, приведенные уравнения совпадают с обобщенным случаем Ковалевской (§4 гл. 2) на алгебре so(3) ®s K6 = {M,a,?} и гамильтонианом
H = !(M12 + M22 + 2M2 - 2M3C) -U1- ?i. (10.18)
Постоянную циклического интеграла С можно интерпретировать как вектор гиростатического момента. L — А-пара этой интегрируемой системы получается, если заменить в матрице L переменную Mi на С — M3, а матрицу А представить как дифференциал
^при этом = O^. Полный набор первых интегралов может быть получен при разложении Tr Lk по спектральному параметру.§ 10. L — А-пары и бигаліильтоновость: картановское разложение 173
Замечание 1. Гамильтониан (4.9) случая Ковалевской является функцией Казимира для скобки
{;¦}<>-{;¦}-{;¦}!¦
Отметим, что описанная процедура редукции проведенная для алгебры (so(3) ® so(2)) ®SK6, входящей в пучок, не может быть проведено одновременно для всех скобок пучка, и соответственно, не может индуцировать новую (редуцированную) бигамильтонову структуру. По-видимому, волчок Ковалевской (в отличие от интегрируемых систем, рассматриваемых ранее), вообще не допускает бигамильтонова описания. Интересно было бы найти к этому алгебраические или даже аналитические (исследуя систему вблизи особой точки или цикла) препятствия.
Со своей стороны сделаем лишь одно замечание. Бигамильтоно-вость систем Ляпунова—Стеклова, Клебша, Манакова была обусловлена их определенной вырожденностью в том смысле, что соответствующие системы допускают интегрируемые обобщения на целом семействе алгебр Ли. Причем в этом семействе существовали две неизоморфные алгебры (например, so(n) и е(п — 1)) для волчка Манакова), а соответствующие интегрируемые случаи переводились друг в друга контракцией или даже линейным преобразованием.